6e

Symétrie axiale — Exercices d'application

1. Le symétrique d’un point par rapport à une droite

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Exercice 1 — ⭐

Trace une droite $(d)$ et un point $A$ situé à $3\,\text{cm}$ de $(d)$ . Construis le symétrique $A'$ de $A$ par rapport à $(d)$ .
Quelle est la distance entre $A'$ et $(d)$ ?
Le point $A$ est-il son propre symétrique s’il est placé exactement sur la droite $(d)$ ? Justifie.

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Par définition, le symétrique de $A$ par rapport à $(d)$ est le point $A'$ tel que $(d)$ soit la médiatrice de $[AA']$ . Pour le construire, on trace d’abord la perpendiculaire à $(d)$ passant par $A$ (à l’équerre), puis on reporte, sur cette perpendiculaire, la même distance de $3\,\text{cm}$ mais de l’autre côté de $(d)$ : on obtient ainsi $A'$ .
Puisque $(d)$ est la médiatrice de $[AA']$ , elle est équidistante des deux points $A$ et $A'$ : la distance entre $A'$ et $(d)$ est donc identique à celle entre $A$ et $(d)$ , soit $3\,\text{cm}$ .
Oui. Si $A$ est situé exactement sur $(d)$ , la distance entre $A$ et $(d)$ est nulle. Or le symétrique se construit en reportant cette même distance de l’autre côté de $(d)$ : reporter une distance nulle ramène exactement au même point. $A$ est donc bien son propre symétrique dans ce cas particulier : c’est un point invariant de cette symétrie.

2. Propriétés conservées par la symétrie axiale

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Exercice 2 — ⭐⭐

Un triangle $ABC$ a pour longueurs $AB = 6\,\text{cm}$ , $BC = 4\,\text{cm}$ , $AC = 5\,\text{cm}$ , et un angle $\widehat{ABC}$ de $70°$ . On construit le triangle symétrique $A'B'C'$ par rapport à une droite $(d)$ .

Donne les longueurs des trois côtés du triangle $A'B'C'$ .
Donne la mesure de l’angle $\widehat{A'B'C'}$ .
Le triangle $A'B'C'$ a-t-il la même aire que le triangle $ABC$ ? Justifie sans calculer l’aire.

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La propriété fondamentale de la symétrie axiale est qu’elle conserve toujours les longueurs : chaque côté du triangle symétrique a exactement la même longueur que le côté correspondant du triangle de départ. On a donc $A'B' = 6\,\text{cm}$ , $B'C' = 4\,\text{cm}$ , $A'C' = 5\,\text{cm}$ .
La symétrie axiale conserve également les angles : l’angle $\widehat{A'B'C'}$ a donc exactement la même mesure que l’angle $\widehat{ABC}$ dont il est l’image, soit $70°$ .
Oui, sans avoir besoin de la recalculer : la symétrie axiale conserve non seulement les longueurs et les angles, mais aussi les aires. Puisque $A'B'C'$ est l’image de $ABC$ par une symétrie axiale, il possède automatiquement la même aire.

3. Construire le symétrique d’une figure

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Exercice 3 — ⭐⭐⭐

Trace un quadrilatère $ABCD$ quelconque et une droite $(d)$ ne le traversant pas. Construis son symétrique $A'B'C'D'$ .
Sur un quadrillage, place un triangle dont les sommets sont sur les nœuds du quadrillage. Construis son symétrique par rapport à une ligne verticale du quadrillage, en comptant les carreaux.

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Pour construire le symétrique d’une figure entière, on applique la méthode du symétrique d’un point à chacun de ses sommets, un par un : on obtient ainsi $A'$ (symétrique de $A$ ), $B'$ (symétrique de $B$ ), $C'$ (symétrique de $C$ ) et $D'$ (symétrique de $D$ ), chacun construit par rapport à $(d)$ . Il ne reste plus qu’à relier ces quatre nouveaux points dans le même ordre que les sommets de départ pour reconstituer le quadrilatère symétrique $A'B'C'D'$ .
Sur un quadrillage, la construction se simplifie car on peut compter directement les carreaux au lieu de mesurer à la règle. Pour chaque sommet du triangle, on compte combien de carreaux le séparent horizontalement de la ligne verticale choisie, puis on place le point symétrique au même nombre de carreaux mais de l’autre côté de cette ligne, en restant sur la même ligne horizontale (la hauteur ne change pas, seule la position horizontale est inversée).

4. Les axes de symétrie d’une figure

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Exercice 4 — ⭐⭐⭐

Combien d’axes de symétrie possède un carré ? Trace-les.
Combien d’axes de symétrie possède un triangle équilatéral ? Trace-les.
Un losange (quadrilatère à quatre côtés égaux, non carré) possède $2$ axes de symétrie : lesquels, d’après toi, en observant la figure ?

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Un axe de symétrie est une droite pour laquelle la figure est sa propre symétrique. Pour le carré, on peut en identifier quatre : les deux droites qui relient les milieux de côtés opposés (une horizontale, une verticale), et les deux diagonales. En pliant un carré en papier selon chacune de ces quatre droites, les deux moitiés se superposent exactement.
Pour un triangle équilatéral, chaque axe de symétrie relie un sommet au milieu du côté opposé : comme le triangle a trois sommets, il possède exactement $3$ axes de symétrie.
Dans un losange, ce sont les deux diagonales qui jouent le rôle d’axes de symétrie : en pliant le long de chacune d’elles, les deux moitiés du losange se superposent exactement (contrairement au carré, les côtés eux-mêmes ne sont pas des axes de symétrie ici).

Exercice 5 — ⭐⭐⭐⭐

Une entreprise de décoration conçoit un logo en forme de papillon, obtenu en construisant le symétrique d’une figure de base par rapport à un axe vertical central. La figure de base a une aire de $18\,\text{cm}^2$ et un périmètre de $22\,\text{cm}$ .

Quelle est l’aire du logo complet (figure de base et son symétrique réunis) ?
L’entreprise affirme que le logo complet possède un axe de symétrie. A-t-elle raison ? Justifie.
Si l’on imprime ce logo à une échelle deux fois plus grande (chaque longueur est doublée), le nouvel axe de symétrie du logo agrandi reste-t-il un axe de symétrie ? Justifie.

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Le logo complet réunit la figure de base et son symétrique, qui ont nécessairement la même aire (la symétrie axiale conserve les aires). L’aire totale du logo est donc la somme des deux : $18 + 18 = 36\,\text{cm}^2$ .
Oui, l’entreprise a raison. Par construction même du logo, la droite verticale utilisée pour créer la seconde moitié à partir de la première est exactement la droite par rapport à laquelle chaque moitié est le symétrique de l’autre. Cette droite vérifie donc bien la définition d’un axe de symétrie pour le logo complet.
Oui, l’axe reste un axe de symétrie. Agrandir uniformément une figure — c’est-à-dire multiplier toutes ses longueurs par le même nombre — ne modifie ni les angles ni les proportions internes de la figure : les propriétés de symétrie sont donc conservées, et l’axe garde sa position relative par rapport au logo agrandi.