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Symétrie axiale

Ce que tu vas apprendre

Construire le symétrique d'un point par rapport à une droite
Connaître les propriétés conservées par la symétrie axiale
Construire le symétrique d'une figure par rapport à une droite
Reconnaître et tracer les axes de symétrie d'une figure

Notions clésaxe de symétriesymétrique d'un point, d'une figureconservation des longueurs et des angles

1. Le symétrique d’un point par rapport à une droite

Définition. Le symétrique d’un point $M$ par rapport à une droite $(d)$ est le point $M'$ tel que $(d)$ soit la médiatrice du segment $[MM']$ : $(d)$ coupe $[MM']$ en son milieu, perpendiculairement.

M'

est le symétrique de

M

par rapport à la droite

(d)

:

(d)

est la médiatrice de

[MM']

.

📋 Méthode — Construire le symétrique d'un point à la règle et l'équerre

Tracer, à l’équerre, la perpendiculaire à $(d)$ passant par le point $M$ .
Mesurer au compas ou à la règle la distance entre $M$ et son point d’intersection avec $(d)$ .
Reporter cette même distance de l’autre côté de $(d)$ , sur la même perpendiculaire : on obtient le point $M'$ .

Vocabulaire. Si le point $M$ appartient déjà à la droite $(d)$ , alors la distance entre $M$ et $(d)$ est nulle : son symétrique $M'$ est confondu avec $M$ lui-même. On dit que $M$ est un point invariant de cette symétrie.

M appartient à l'axe (d) : M est son propre symétrique, M' = M. On dit que M est un point invariant.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Propriétés conservées par la symétrie axiale

Propriété. La symétrie axiale conserve les longueurs, les angles et les aires : si une figure a un symétrique par rapport à une droite, cette figure symétrique a exactement les mêmes longueurs de côtés, les mêmes mesures d’angles, et la même aire que la figure de départ.

Exemple. Le symétrique d’un triangle équilatéral de côté $5\,\text{cm}$ est encore un triangle équilatéral de côté $5\,\text{cm}$ : la symétrie ne déforme jamais les figures, elle les retourne comme dans un miroir.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Construire le symétrique d’une figure

📋 Méthode — Construire le symétrique d'une figure polygonale

Construire le symétrique de chaque sommet de la figure, un par un, en appliquant la méthode du symétrique d’un point.
Relier les points symétriques obtenus dans le même ordre que les sommets de la figure de départ.
Vérifier que la figure obtenue a bien les mêmes longueurs de côtés que la figure initiale.

Astuce. Sur un quadrillage, la symétrie axiale par rapport à une ligne ou une colonne du quadrillage se fait très simplement en comptant le même nombre de carreaux de l’autre côté de l’axe.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Les axes de symétrie d’une figure

Définition. Un axe de symétrie d’une figure est une droite telle que la figure soit sa propre symétrique par rapport à cette droite.

Le carré a 4 axes de symétrie (2 médiatrices des côtés + 2 diagonales) ; le rectangle n'en a que 2 (les diagonales n'en sont pas).

Propriété. Le carré possède $4$ axes de symétrie, le rectangle (non carré) en possède $2$ , le losange (non carré) en possède aussi $2$ (ses deux diagonales), le triangle équilatéral en possède $3$ , le triangle isocèle (non équilatéral) n’en possède qu’ $1$ (celui qui relie le sommet principal au milieu de la base), et le cercle en possède une infinité (tous ses diamètres).

Le losange a 2 axes (ses diagonales), le triangle isocèle n'en a qu'1 (du sommet principal au milieu de la base).

→ S’entraîner : Exercice 4