Solides usuels et patrons — Exercices d'application

Pour associer un objet à un solide, on observe la forme de ses faces : sont-elles planes ou courbes, toutes identiques ou de tailles différentes.

1. Une boîte de conserve a deux bases circulaires identiques reliées par une surface courbe : elle évoque un cylindre.
2. Un dé à jouer a six faces carrées identiques : il évoque un cube.
3. Une boîte à chaussures a six faces rectangulaires, pas nécessairement toutes identiques : elle évoque un pavé droit.
4. Le toit d’une pyramide égyptienne a une base carrée et des faces triangulaires qui se rejoignent en un point : il évoque une pyramide (à base carrée).

1. Un pavé droit possède $6$ faces (toutes rectangulaires), $12$ arêtes (les segments où se rejoignent deux faces) et $8$ sommets (les points où se rejoignent plusieurs arêtes).
2. Pour une pyramide à base triangulaire (un tétraèdre), on peut compter les arêtes en observant sa structure : la base triangulaire possède $3$ arêtes, et chacun des $3$ sommets de cette base est relié au sommet du dessus par une arête supplémentaire, ce qui donne $3$ arêtes de plus. Au total : $3 + 3 = 6$ arêtes.
3. De la même façon, pour ce prisme : chaque base triangulaire possède $3$ arêtes (donc $3 + 3 = 6$ arêtes pour les deux bases), et les trois sommets d’une base sont chacun reliés au sommet correspondant de l’autre base par une arête verticale, ce qui ajoute $3$ arêtes. Au total : $6 + 3 = 9$ arêtes.

1. Un patron doit représenter, à plat, l’ensemble des faces du solide une fois chacune. Le cube ayant $6$ faces carrées identiques, son patron doit donc comporter exactement $6$ carrés identiques.
2. Un patron valide doit permettre, une fois plié, de reconstituer exactement le solide sans qu’aucune face ne manque. Une figure de $5$ carrés fournirait seulement $5$ des $6$ faces nécessaires : après pliage, il manquerait une face pour fermer complètement le cube, qui resterait donc ouvert d’un côté.
3. Un pavé droit a trois paires de faces identiques deux à deux, correspondant aux trois combinaisons possibles de ses dimensions prises deux par deux : deux rectangles $5\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}$ (dessus et dessous), deux rectangles $5\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}$, et deux rectangles $3\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}$, soit $6$ rectangles au total, regroupés par paires identiques.

1. Comme un cube a $6$ faces carrées identiques, son patron comporte $6$ carrés de $4\,\text{cm}$ de côté. On peut les disposer en croix (une rangée centrale de $4$ carrés, avec un carré de plus au-dessus et un en dessous, par exemple), en veillant à ce que chaque arête commune entre deux carrés adjacents mesure bien $4\,\text{cm}$ des deux côtés.
2. D’après la méthode du cours, un pavé droit a trois paires de faces rectangulaires identiques : le patron comporte donc $2$ rectangles $6 \times 4$, $2$ rectangles $6 \times 3$ et $2$ rectangles $4 \times 3$. On les dispose de sorte que chaque arête commune entre deux rectangles adjacents corresponde exactement à la même longueur des deux côtés, sans quoi le pliage ne refermerait pas correctement le solide.
3. En découpant puis en pliant le long des arêtes internes de chaque patron, le premier doit se refermer en un cube plein de $4\,\text{cm}$ d’arête, et le second en un pavé droit plein de dimensions $6 \times 4 \times 3\,\text{cm}$, sans trou ni chevauchement entre les faces.

1. Un pavé droit a toujours trois paires de faces rectangulaires identiques, correspondant aux trois combinaisons de ses dimensions prises deux par deux : on obtient donc trois formes de rectangles différentes, chacune apparaissant deux fois dans le patron — $20 \times 12$, $20 \times 8$ et $12 \times 8$.
2. On calcule l’aire de chaque forme de rectangle avec la formule $A = L \times \ell$ : $20 \times 12 = 240\,\text{cm}^2$ ; $20 \times 8 = 160\,\text{cm}^2$ ; $12 \times 8 = 96\,\text{cm}^2$.
3. Comme chaque forme apparaît deux fois dans le patron complet, on double chacune de ces aires avant de les additionner : $2 \times 240 + 2 \times 160 + 2 \times 96 = 480 + 320 + 192 = 992\,\text{cm}^2$ de carton pour une boîte.
4. Pour $50$ boîtes identiques, il faut multiplier l’aire nécessaire pour une boîte par $50$ : $50 \times 992 = 49\,600\,\text{cm}^2$. En divisant par $10\,000$ pour convertir en $\text{m}^2$, cela représente $4{,}96\,\text{m}^2$ de carton.

1. Une boîte de conserve évoque un cylindre : ce n’est pas un polyèdre, car sa face latérale est courbe (elle s’enroule) — ce n’est pas un polygone.
2. Une brique de lait évoque un pavé droit : c’est un polyèdre, car ses six faces (des rectangles) sont toutes planes.
3. Une tente en forme de triangle épais évoque un prisme droit à base triangulaire : c’est un polyèdre, car ses cinq faces (deux triangles et trois rectangles) sont toutes planes.
4. La pyramide du Louvre évoque une pyramide à base carrée : c’est un polyèdre, car ses cinq faces (un carré et quatre triangles) sont toutes planes.