Proportionnalité — Exercices d'application

Pour reconnaître une situation de proportionnalité, il faut vérifier si l’on passe d’une grandeur à l’autre en multipliant toujours par le même nombre, quel que soit le cas considéré.

1. Oui, c’est une situation de proportionnalité : le prix total s’obtient toujours en multipliant le nombre de billets par $9$, qui joue le rôle de coefficient constant. Un billet coûte $9$ €, deux billets $18$ €, trois billets $27$ €, etc. : le rapport est toujours le même.
2. Non, ce n’est pas une situation de proportionnalité. Un arbre grandit rapidement les premières années puis beaucoup plus lentement en vieillissant : il n’existe aucun nombre fixe par lequel multiplier l’âge pour obtenir la hauteur à tout moment.
3. Oui, c’est une situation de proportionnalité, pour la même raison qu’au premier cas : le prix s’obtient toujours en multipliant la masse achetée par $2$, un coefficient constant.

1. Le coefficient de proportionnalité s’obtient en divisant une valeur de la deuxième ligne (le prix) par la valeur correspondante de la première ligne (la longueur), sur une colonne où les deux sont déjà connues. Ici, on utilise la première colonne : $7 \div 2 = 3{,}5$ € par mètre.
2. Pour compléter le tableau, il suffit de multiplier chaque longueur par ce coefficient de $3{,}5$ € par mètre : pour $5\,\text{m}$, $5 \times 3{,}5 = 17{,}50$ € ; pour $8\,\text{m}$, $8 \times 3{,}5 = 28$ €.
3. On applique la même méthode à la longueur demandée : $12 \times 3{,}5 = 42$ €.
4. L’échelle indique que $1\,\text{cm}$ sur la carte représente $4\,\text{km}$ dans la réalité : pour passer du plan à la réalité, on multiplie par $4$ ; pour passer de la réalité au plan, on divise par $4$. La route mesure $7 \times 4 = 28\,\text{km}$ dans la réalité. Les deux villes, distantes de $50\,\text{km}$, sont séparées sur la carte par $50 \div 4 = 12{,}5\,\text{cm}$.

Cette situation est proportionnelle, mais on ne connaît pas directement le coefficient de proportionnalité entre distance et consommation : on utilise donc la technique du produit en croix, qui permet de retrouver une quatrième valeur à partir de trois valeurs connues.

1. On dispose de trois valeurs connues : $180\,\text{km}$ pour $12\,\text{L}$, et l’on cherche la consommation pour $300\,\text{km}$. Le produit en croix consiste à multiplier les deux valeurs en diagonale par rapport à l’inconnue, puis à diviser par la troisième valeur connue : $12 \times 300 = 3\,600$, puis $3\,600 \div 180 = 20$. La voiture consomme donc $20\,\text{L}$ pour parcourir $300\,\text{km}$.
2. On procède de la même façon, mais cette fois c’est la distance qui est inconnue : $180 \times 45 = 8\,100$, puis $8\,100 \div 12 = 675$. Avec un plein de $45\,\text{L}$, la voiture peut donc parcourir $675\,\text{km}$.

Un pourcentage étant un cas particulier de proportionnalité (une fraction de dénominateur $100$), la méthode consiste toujours à calculer d’abord la valeur de $1\,\%$, puis à la multiplier par le nombre de pourcents recherché.

1. La valeur de $1\,\%$ de $80$ € s’obtient en divisant par $100$ : $80 \div 100 = 0{,}80$ €. La réduction de $30\,\%$ vaut donc $30$ fois cette valeur : $0{,}80 \times 30 = 24$ €.
2. Le prix payé après réduction s’obtient en soustrayant la réduction du prix de départ : $80 - 24 = 56$ €.
3. On applique la même méthode dans le second magasin : la valeur de $1\,\%$ de $75$ € est $75 \div 100 = 0{,}75$ €, donc une réduction de $20\,\%$ vaut $0{,}75 \times 20 = 15$ €. Le prix payé dans ce magasin est alors $75 - 15 = 60$ €. En comparant les deux prix finaux, $56 < 60$, on constate que c’est le premier magasin qui propose finalement le prix le plus bas, malgré un prix affiché plus élevé au départ.

1. La recette totale s’obtient en multipliant le nombre de parts vendues par le prix d’une part : $150 \times 2 = 300$ €.
2. Le bénéfice correspond à la recette totale diminuée du coût des ingrédients, puisque c’est l’argent qui reste une fois les frais de fabrication déduits : $300 - 90 = 210$ €.
3. Attention : le don à l’association se calcule sur la recette totale, et non sur le bénéfice. On calcule d’abord la valeur de $1\,\%$ de $300$ € : $300 \div 100 = 3$ €. Le don de $15\,\%$ vaut donc $3 \times 15 = 45$ €.
4. Pour obtenir la somme réellement disponible pour le voyage, il faut retirer à la recette totale à la fois le coût des ingrédients et le don à l’association : $300 - 90 - 45 = 165$ €.