Proportionnalité

1. Reconnaître une situation de proportionnalité

Définition. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant toujours par le même nombre les valeurs de l’autre. On dit aussi qu’on passe d’une grandeur à l’autre par un coefficient de proportionnalité constant.

Exemple. Le prix de pommes achetées au kilo est proportionnel à la masse achetée : si $1\,\text{kg}$ coûte $2{,}50$ €, alors $2\,\text{kg}$ coûtent $5$ €, $3\,\text{kg}$ coûtent $7{,}50$ €… on multiplie toujours la masse par $2{,}50$ pour obtenir le prix.

Attention. Toutes les situations ne sont pas proportionnelles. L’âge d’une personne et sa taille, par exemple, n’évoluent pas selon un rapport constant : ce n’est pas une situation de proportionnalité.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Compléter un tableau de proportionnalité

Un tableau de proportionnalité présente deux grandeurs proportionnelles sur deux lignes (ou deux colonnes). Pour le compléter, on peut chercher le coefficient de proportionnalité qui permet de passer d’une ligne à l’autre.

Exemple. Un tableau donne : $2\,\text{kg}$ de farine pour $8$ personnes. Le coefficient est $8 \div 2 = 4$ (nombre de personnes par kilogramme). Pour $3\,\text{kg}$, on multiplie : $3 \times 4 = 12$ personnes.

L’échelle d’un plan ou d’une carte

Sur un plan, une carte ou une maquette, l’échelle indique par combien il faut multiplier une longueur mesurée sur le dessin pour obtenir la longueur réelle correspondante — ou, à l’inverse, par combien la diviser pour reporter une longueur réelle sur le dessin. C’est un coefficient de proportionnalité comme un autre, entre la grandeur « longueur sur le dessin » et la grandeur « longueur réelle ».

Exemple. Sur le plan d’un collège, l’échelle est telle que $1\,\text{cm}$ représente $20\,\text{m}$ dans la réalité. Un couloir mesure $4\,\text{cm}$ sur ce plan : sa longueur réelle est donc $4 \times 20 = 80\,\text{m}$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Utiliser le produit en croix

Propriété. Dans un tableau de proportionnalité à deux lignes et deux colonnes connues sur trois valeurs, on peut retrouver la quatrième valeur en utilisant le produit en croix : le produit des deux valeurs en diagonale est égal au produit des deux autres valeurs en diagonale.

Exemple. Une recette utilise $3$ œufs pour $6$ personnes. Combien d’œufs faut-il pour $10$ personnes ? On calcule $3 \times 10 = 30$, puis $30 \div 6 = 5$. Il faut $5$ œufs pour $10$ personnes.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Calculer un pourcentage

Définition. Un pourcentage est une fraction de dénominateur $100$ : « $t\,\%$ d’une quantité » signifie « $t$ centièmes de cette quantité ». Calculer un pourcentage est donc un cas particulier de calcul de proportionnalité.

Exemple. Calculons $20\,\%$ de $85$ €. On divise par $100$ : $85 \div 100 = 0{,}85$ € (valeur de $1\,\%$). On multiplie par $20$ : $0{,}85 \times 20 = 17$ €. Donc $20\,\%$ de $85$ € valent $17$ €.

Astuce. Certains pourcentages se calculent très rapidement : $50\,\%$ correspond à la moitié, $25\,\%$ au quart, $10\,\%$ au dixième.

→ S’entraîner : Exercice 4