Périmètres et aires — Exercices d'application

Le périmètre d’une figure est la longueur totale de son contour, c’est-à-dire la somme des longueurs de tous ses côtés. Ici, on additionne simplement les six côtés donnés : $4 + 3 + 5 + 2 + 4 + 3 = 21\,\text{cm}$.

1. Le périmètre d’un rectangle se calcule avec la formule $P = 2 \times (L + \ell)$, où $L$ est la longueur et $\ell$ la largeur. Ici : $P = 2 \times (12 + 7) = 2 \times 19 = 38\,\text{cm}$.
2. Le périmètre d’un carré se calcule avec la formule $P = 4 \times c$, où $c$ est la longueur du côté (les quatre côtés d’un carré étant égaux). Ici : $P = 4 \times 9 = 36\,\text{cm}$.
3. On repart de la formule du rectangle avec la longueur $L$ comme inconnue : $2 \times (L + 6) = 30$. On divise d’abord les deux côtés par $2$ pour simplifier : $L + 6 = 15$. On isole ensuite $L$ en soustrayant $6$ : $L = 15 - 6 = 9\,\text{cm}$.

Contrairement aux longueurs, où l’on passe d’une unité à l’autre en multipliant ou divisant par $10$, les unités d’aire se convertissent avec un facteur $100$ entre deux unités consécutives (car une aire dépend de deux dimensions à la fois).

1. Pour passer des $\text{dm}^2$ aux $\text{cm}^2$ (unité plus petite), on multiplie par $100$ : $3\,\text{dm}^2 = 3 \times 100 = 300\,\text{cm}^2$.
2. Pour passer des $\text{cm}^2$ aux $\text{m}^2$ (unité bien plus grande, deux rangs d’écart), on divise par $100 \times 100 = 10\,000$ : $50\,000\,\text{cm}^2 = 50\,000 \div 10\,000 = 5\,\text{m}^2$.
3. Pour passer des $\text{m}^2$ aux $\text{dm}^2$ (unité plus petite), on multiplie par $100$ : $2{,}5\,\text{m}^2 = 2{,}5 \times 100 = 250\,\text{dm}^2$.

1. L’aire d’un rectangle se calcule avec la formule $A = L \times \ell$. Ici : $A = 11 \times 6 = 66\,\text{cm}^2$.
2. L’aire d’un carré se calcule avec la formule $A = c \times c = c^2$. Ici : $A = 8 \times 8 = 64\,\text{cm}^2$.
3. On repart de la formule du rectangle avec la longueur $L$ comme inconnue : $L \times 6 = 54$. Pour isoler $L$, on divise les deux côtés par $6$ : $L = 54 \div 6 = 9\,\text{cm}$.

1. On applique la formule de l’aire du rectangle, $A = L \times \ell$ : $30 \times 18 = 540\,\text{m}^2$.
2. Un triangle formé par la diagonale d’un rectangle a pour base et hauteur les dimensions de ce rectangle. On applique la formule de l’aire du triangle, $A = \dfrac{b \times h}{2}$ : $\dfrac{30 \times 18}{2} = \dfrac{540}{2} = 270\,\text{m}^2$.
3. Une diagonale partage toujours un rectangle en deux triangles superposables, donc de même aire, ce qui explique pourquoi l’aire d’un de ces triangles doit correspondre exactement à la moitié de l’aire du rectangle. On vérifie : $540 \div 2 = 270\,\text{m}^2$, ce qui correspond bien à l’aire du triangle calculée à la question précédente. ✓

1. La clôture longe le contour du champ : c’est donc son périmètre qu’il faut calculer, avec $P = 2 \times (L + \ell) = 2 \times (65 + 40) = 2 \times 105 = 210\,\text{m}$. Le coût de la clôture s’obtient en multipliant cette longueur par le prix au mètre : $210 \times 8 = 1\,680$ €.
2. Le gazon recouvre la surface du champ : c’est donc son aire qu’il faut calculer, avec $A = L \times \ell = 65 \times 40 = 2\,600\,\text{m}^2$. Le coût du gazon s’obtient en multipliant cette aire par le prix au mètre carré : $2\,600 \times 3 = 7\,800$ €.
3. Le coût total du projet regroupe les deux dépenses : $1\,680 + 7\,800 = 9\,480$ €.
4. On compare ce coût total au budget disponible : $9\,480 < 10\,000$, le budget est donc suffisant. Il reste même à l’agriculteur $10\,000 - 9\,480 = 520$ € une fois le projet financé.

1. Aire totale du mur (fenêtre comprise) : $A = 6 \times 2{,}5 = 15\,\text{m}^2$.
2. Aire de la fenêtre : $A = 1{,}2 \times 1 = 1{,}2\,\text{m}^2$.
3. On calcule l’aire à peindre par différence : on retire l’aire de la fenêtre à l’aire totale du mur, puisqu’on ne peint pas la fenêtre : $15 - 1{,}2 = 13{,}8\,\text{m}^2$.
4. Nombre de pots : $13{,}8 \div 5 = 2{,}76$. Comme on ne peut acheter qu’un nombre entier de pots et qu’il en faut au moins $2{,}76$ pour tout recouvrir, il faut arrondir au nombre entier supérieur : il faut acheter $3$ pots de peinture.