Périmètres et aires

1. Le périmètre d’une figure

Définition. Le périmètre d’une figure est la longueur totale de son contour, c’est-à-dire la somme des longueurs de tous ses côtés.

Exemple. Le périmètre d’un pentagone dont les côtés mesurent $3\,\text{cm}$, $4\,\text{cm}$, $5\,\text{cm}$, $2\,\text{cm}$ et $6\,\text{cm}$ est $3 + 4 + 5 + 2 + 6 = 20\,\text{cm}$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Le périmètre du rectangle et du carré

Propriété. Le périmètre d’un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ vaut $P = 2 \times (L + \ell)$. Le périmètre d’un carré de côté $c$ vaut $P = 4 \times c$.

Exemple. Un rectangle de longueur $9\,\text{cm}$ et de largeur $5\,\text{cm}$ a pour périmètre $P = 2 \times (9 + 5) = 2 \times 14 = 28\,\text{cm}$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. L’aire d’une figure et ses unités

Définition. L’aire d’une figure mesure la surface qu’elle occupe. L’unité de base est le mètre carré ($\text{m}^2$), mais on utilise aussi le centimètre carré ($\text{cm}^2$), le décimètre carré ($\text{dm}^2$), le kilomètre carré ($\text{km}^2$)…

Propriété. Entre deux unités d’aire consécutives (par exemple $\text{cm}^2$ et $\text{dm}^2$), le facteur de conversion est $100$ (et non $10$ comme pour les longueurs), car une unité d’aire correspond à un carré, dans les deux dimensions.

Exemple. $1\,\text{dm}^2 = 100\,\text{cm}^2$, et $1\,\text{m}^2 = 100\,\text{dm}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2$.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. L’aire du rectangle et du carré

Propriété. L’aire d’un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ vaut $A = L \times \ell$. L’aire d’un carré de côté $c$ vaut $A = c \times c = c^2$.

Exemple. Un rectangle de longueur $9\,\text{cm}$ et de largeur $5\,\text{cm}$ a pour aire $A = 9 \times 5 = 45\,\text{cm}^2$. Un carré de côté $6\,\text{cm}$ a pour aire $A = 6 \times 6 = 36\,\text{cm}^2$.

Attention. Ne pas confondre périmètre (en unités de longueur, comme $\text{cm}$) et aire (en unités de longueur au carré, comme $\text{cm}^2$) : ce ne sont pas la même grandeur et elles ne s’expriment pas dans les mêmes unités.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. L’aire du triangle

Propriété. L’aire d’un triangle de base $b$ et de hauteur $h$ (relative à cette base) vaut $A = \dfrac{b \times h}{2}$.

Exemple. Un triangle de base $8\,\text{cm}$ et de hauteur $5\,\text{cm}$ a pour aire $A = \dfrac{8 \times 5}{2} = \dfrac{40}{2} = 20\,\text{cm}^2$.

→ S’entraîner : Exercice 5

6. Aire d’une figure composée

Certaines figures ne sont ni un rectangle, ni un carré, ni un triangle : on parle de figure composée. Pour calculer leur aire, deux méthodes sont possibles.

Exemple (par décomposition). La figure en L ci-dessus se décompose en deux rectangles de $8 \times 5 = 40\,\text{m}^2$ et $3 \times 4 = 12\,\text{m}^2$. Son aire totale est donc $40 + 12 = 52\,\text{m}^2$.

Exemple (par différence). Un jardin rectangulaire de $12\,\text{m}$ sur $8\,\text{m}$ contient un bassin carré de $3\,\text{m}$ de côté. L’aire du jardin est $12 \times 8 = 96\,\text{m}^2$, l’aire du bassin est $3 \times 3 = 9\,\text{m}^2$. L’aire de pelouse (le jardin sans le bassin) est donc $96 - 9 = 87\,\text{m}^2$.

→ S’entraîner : Exercice 7