Nombres entiers et décimaux — Exercices d'application

1. On découpe $3\,208$ par tranches de trois chiffres en partant de la droite : $3$ (milliers) et $208$ (unités). On lit donc « trois mille » puis « deux cent huit », ce qui donne « trois mille deux cent huit ».
2. On procède dans l’autre sens : « deux millions » donne $2\,000\,000$, « quarante mille » donne $040\,000$, et « sept cent seize » donne $716$. En assemblant ces trois groupes, on obtient $2\,040\,716$.
3. Pour repérer un chiffre par son rang, on relit le nombre de la droite vers la gauche : unités ($3$), dizaines ($6$), centaines ($4$), milliers ($7$), dizaines de mille ($5$). Le chiffre des centaines est donc $4$, et le chiffre des milliers est $7$.
4. $71$ s’écrit « soixante-et-onze » (cas particulier avec « et »). $81$ s’écrit « quatre-vingt-un » (jamais de « et » avec quatre-vingts). $80$ s’écrit « quatre-vingts » (un $s$, car rien ne suit). $83$ s’écrit « quatre-vingt-trois » (pas de $s$, car un nombre suit). $300$ s’écrit « trois cents » (un $s$, rien ne suit). $3\,000$ s’écrit « trois mille » : « mille » ne prend jamais de $s$.

Pour chaque nombre, la partie entière est tout ce qui se trouve avant la virgule, et la partie décimale tout ce qui se trouve après.

• $14{,}6$ : partie entière $14$, partie décimale $6$ dixièmes.
• $0{,}75$ : partie entière $0$ (il n’y a aucune unité entière), partie décimale $75$ centièmes.
• $102{,}05$ : partie entière $102$, partie décimale $05$ centièmes. Ici, le $0$ juste après la virgule compte : il indique qu’il n’y a aucun dixième, seulement $5$ centièmes.

1. Oui, $4{,}30$ et $4{,}3$ représentent le même nombre. La règle est qu’ajouter un zéro à la toute fin de la partie décimale ne change jamais la valeur d’un nombre : ici le $0$ de $4{,}30$ est en dernière position, il ne fait qu’allonger l’écriture sans rien ajouter à la quantité.
2. Non, $5{,}06$ et $5{,}6$ ne sont pas égaux. Pour le voir, on compare chiffre par chiffre après la virgule : dans $5{,}06$, le chiffre des dixièmes est $0$ et celui des centièmes est $6$ ; dans $5{,}6$, le chiffre des dixièmes est directement $6$. Le zéro de $5{,}06$ n’est pas en fin d’écriture mais juste après la virgule, ce qui change complètement le rang — et donc la valeur — du chiffre $6$.

1. Pour ranger des nombres décimaux, on compare toujours d’abord leurs parties entières, avant de s’intéresser aux chiffres après la virgule.

   Étape 1 — comparer les parties entières. $6{,}99$ a pour partie entière $6$, tandis que tous les autres nombres ont pour partie entière $7$. Comme $6 < 7$, $6{,}99$ est donc automatiquement le plus petit de la liste, quelle que soit sa partie décimale.

   Étape 2 — comparer les dixièmes des nombres de partie entière 7. Il reste à classer $7{,}09$, $7{,}9$ et $7{,}089$. On regarde le chiffre des dixièmes de chacun : $7{,}089$ a $0$ dixième, $7{,}09$ a aussi $0$ dixième, et $7{,}9$ a $9$ dixièmes. Comme $9 > 0$, $7{,}9$ est donc le plus grand des trois.

   Étape 3 — départager les deux nombres à égalité de dixièmes. Il reste $7{,}089$ et $7{,}09$, tous deux avec $0$ dixième : on compare alors le chiffre des centièmes, soit $8$ contre $9$. Comme $8 < 9$, on a $7{,}089 < 7{,}09$.

   En rassemblant les trois étapes, le rangement croissant est : $6{,}99 < 7{,}089 < 7{,}09 < 7{,}9$.

2. Léo mesure $1{,}35\,\text{m}$ : comme $1{,}35 < 1{,}40$, sa taille n’est pas $\geqslant 1{,}40\,\text{m}$ ($1{,}35 \leqslant 1{,}40$) : il ne peut pas monter. Nora mesure exactement $1{,}40\,\text{m}$ : $1{,}40 \geqslant 1{,}40$ (l’égalité compte aussi) : elle peut monter. Tom mesure $1{,}52\,\text{m}$ : $1{,}52 \geqslant 1{,}40$ : il peut monter. C’est tout l’intérêt du symbole $\geqslant$ : il autorise le cas où la taille est exactement égale au minimum requis.

1. Encadrer par deux entiers consécutifs revient à identifier la partie entière du nombre, puis à prendre l’entier juste en dessous et celui juste au-dessus. La partie entière de $18{,}647$ est $18$ : l’encadrement est donc $18 < 18{,}647 < 19$.
2. Pour un encadrement plus précis, on regarde en plus le chiffre des dixièmes, qui est $6$ : le nombre se situe donc entre $18{,}6$ et $18{,}7$, soit $18{,}6 < 18{,}647 < 18{,}7$.
3. Pour arrondir, on applique à chaque fois la même méthode : on regarde le chiffre juste après le rang souhaité, et on l’utilise pour décider si l’on garde le chiffre du rang ou si on l’augmente de $1$.
   • À l’unité : le chiffre juste après (celui des dixièmes) est $6$, et $6 \geqslant 5$, donc on augmente l’unité de $1$ : l’arrondi est $19$.
   • Au dixième : le chiffre juste après (celui des centièmes) est $4$, et $4 < 5$, donc le dixième ne change pas : l’arrondi est $18{,}6$.
   • Au centième : le chiffre juste après (celui des millièmes) est $7$, et $7 \geqslant 5$, donc on augmente le centième de $1$ : l’arrondi est $18{,}65$.
4. L’amplitude d’un encadrement est l’écart entre ses deux bornes. Pour l’encadrement à l’unité : $19 - 18 = 1$. Pour l’encadrement au dixième : $18{,}7 - 18{,}6 = 0{,}1$. L’encadrement au dixième, plus précis, a bien une amplitude plus petite.

Pour intercaler un nombre entre deux décimaux proches, on ajoute un chiffre supplémentaire après la virgule à chacun, ce qui laisse la place de choisir une valeur intermédiaire.

1. $4{,}2 = 4{,}20$ et $4{,}3 = 4{,}30$ : on peut choisir par exemple $4{,}25$, et on a bien $4{,}2 < 4{,}25 < 4{,}3$.
2. $7{,}18 = 7{,}180$ et $7{,}19 = 7{,}190$ : on peut choisir par exemple $7{,}185$, et on a bien $7{,}18 < 7{,}185 < 7{,}19$.
3. $0{,}5 = 0{,}50$ et $0{,}6 = 0{,}60$ : on peut choisir par exemple $0{,}55$, et on a bien $0{,}5 < 0{,}55 < 0{,}6$.

D’autres réponses sont possibles : il existe une infinité de nombres décimaux entre deux décimaux distincts, aussi proches soient-ils.

1. On sépare d’abord les températures selon leur partie entière : $16{,}25$ et $16{,}9$ ont pour partie entière $16$, tandis que $17{,}5$ et $17{,}8$ ont pour partie entière $17$. Les deux premières sont donc plus petites que les deux dernières. À l’intérieur de chaque groupe, on compare les dixièmes : $16{,}25 < 16{,}9$ (car $2 < 9$) et $17{,}5 < 17{,}8$ (car $5 < 8$). En combinant les deux groupes, le rangement croissant est $16{,}25 < 16{,}9 < 17{,}5 < 17{,}8$.
2. On arrondit chaque température à l’unité en regardant son chiffre des dixièmes : pour $17{,}8$, le dixième $8 \geqslant 5$ donne un arrondi à $18$ ; pour $16{,}25$, le dixième $2 < 5$ donne un arrondi à $16$ ; pour $17{,}5$, le dixième $5 \geqslant 5$ donne un arrondi à $18$ ; pour $16{,}9$, le dixième $9 \geqslant 5$ donne un arrondi à $17$. Le seul arrondi qui tombe exactement sur $17$ est celui du jeudi ($16{,}9 \to 17$) : c’est donc la température la plus proche de $17\,°C$ une fois arrondie.
3. Sur une droite graduée, les nombres sont placés dans l’ordre croissant de gauche à droite : le nombre le plus petit se trouve donc toujours le plus à gauche. D’après le classement établi à la question 1, le plus petit nombre est $16{,}25$ : c’est donc la température du mardi qui serait la plus proche du début de la droite.

1. Arrondir à l’unité (au gramme près) revient à regarder le chiffre des dixièmes de chaque masse pour décider de garder ou d’augmenter le chiffre des unités.
   • $125{,}4$ : dixième $4 < 5$, l’arrondi reste $125$.
   • $124{,}96$ : dixième $9 \geqslant 5$, on augmente l’unité de $1$ : l’arrondi est $125$.
   • $125{,}08$ : dixième $0 < 5$, l’arrondi reste $125$.
   • $124{,}9$ : dixième $9 \geqslant 5$, on augmente l’unité de $1$ : l’arrondi est $125$.
2. Les quatre masses, une fois arrondies, donnent toutes exactement $125\,\text{g}$ : les quatre parts respectent donc le règlement, même si leurs masses exactes avant arrondi étaient légèrement différentes les unes des autres.
3. Pour ranger dans l’ordre décroissant, on compare d’abord les parties entières : $125$ pour les deux premières masses ($125{,}4$ et $125{,}08$), $124$ pour les deux autres ($124{,}96$ et $124{,}9$). Les masses de partie entière $125$ sont donc forcément plus grandes. On compare ensuite les dixièmes à l’intérieur de chaque groupe : $4 > 0$ donne $125{,}4 > 125{,}08$, et $9 = 9$ oblige à comparer les centièmes, où $6 > 0$ donne $124{,}96 > 124{,}9$. Le rangement décroissant complet est donc : $125{,}4 > 125{,}08 > 124{,}96 > 124{,}9$.
4. L’écart entre deux masses s’obtient par une soustraction. D’après le rangement de la question précédente, la part la plus lourde pèse $125{,}4\,\text{g}$ et la plus légère pèse $124{,}9\,\text{g}$. L’écart est donc $125{,}4 - 124{,}9 = 0{,}5\,\text{g}$.

1. On remplit les classes de trois chiffres de gauche à droite : $2$ (milliards), $300$ (millions), $040$ (milliers), $006$ (unités). Le nombre s’écrit donc $2\,300\,040\,006$. Les zéros sont indispensables : chaque classe doit contenir exactement trois chiffres (sauf la première).
2. On découpe : $5$ (milliards), $017$ (millions), $000$ (milliers), $000$ (unités). Il se lit « cinq milliards dix-sept millions ».
3. Le chiffre des milliers est celui écrit au rang des milliers : c’est $4$. Le nombre de milliers s’obtient en gardant tous les chiffres jusqu’au rang des milliers : $3\,684$ (car $3\,684\,295 = 3\,684 \times 1\,000 + 295$).
4. On garde les chiffres jusqu’au rang des centaines : il y a $705$ centaines dans $70\,500$ (car $705 \times 100 = 70\,500$). Jusqu’au rang des dizaines : il y a $7\,050$ dizaines (car $7\,050 \times 10 = 70\,500$).

1. Le nombre de zéros du dénominateur donne le nombre de chiffres après la virgule : $\dfrac{347}{100} = 3{,}47$ et $\dfrac{9}{1000} = 0{,}009$ (trois chiffres après la virgule, d’où les deux zéros après la virgule). Pour la décomposition : $6$ unités, $2$ dixièmes, $0$ centième et $5$ millièmes donnent $6{,}205$.
2. $15{,}08 = 15 + \dfrac{0}{10} + \dfrac{8}{100} = 15 + \dfrac{8}{100}$. En comptant les centièmes : $15{,}08 = \dfrac{1508}{100}$.
3. $1$ unité $= 10$ dixièmes ; $1$ dixième $= 10$ centièmes, donc $3$ dixièmes $= 30$ centièmes ; $2{,}4 = 24$ dixièmes (car $2$ unités $= 20$ dixièmes, plus $4$ dixièmes).
4. Non : $\dfrac{5}{10} = 0{,}5$ et $\dfrac{50}{100} = 0{,}50 = 0{,}5$. Ce sont deux écritures du même nombre (le zéro final de $0{,}50$ est inutile).