Nombres entiers et décimaux

1. Les nombres entiers : lecture et écriture

Un nombre entier sert à compter des objets un par un, sans les couper : le nombre d’élèves dans une classe, le nombre de pages d’un livre. Pour lire un grand nombre entier, on le découpe en tranches de trois chiffres en partant de la droite : les unités, puis les milliers, puis les millions, puis les milliards.

Vocabulaire. Il ne faut pas confondre un chiffre et un nombre. Un nombre est composé d’un ou plusieurs chiffres : par exemple, le nombre $42$ possède deux chiffres, $4$ et $2$. Il n’existe que dix chiffres, de $0$ à $9$, mais on peut former une infinité de nombres en les combinant.

Exemple. Le nombre $4\,582\,930$ se lit « quatre millions cinq cent quatre-vingt-deux mille neuf cent trente ». On le découpe ainsi : $4$ (millions), $582$ (milliers), $930$ (unités).

Définition. Dans l’écriture d’un nombre, chaque chiffre occupe un rang (unités, dizaines, centaines, milliers…) qui détermine sa valeur. Le même chiffre $5$ ne vaut pas la même chose dans $52$ (cinq dizaines) et dans $580\,000$ (cinq cent mille). Cette façon d’écrire les nombres, où la valeur d’un chiffre dépend de sa position, s’appelle la numération de position.

Écrire un nombre entier en lettres. Passer de l’écriture chiffrée à l’écriture en lettres obéit à des règles précises d’orthographe, qui provoquent souvent des erreurs.

Exemple. $71$ s’écrit « soixante-et-onze » (avec « et »), mais $81$ s’écrit « quatre-vingt-un » (sans « et », car « et » ne s’utilise jamais avec quatre-vingts). $80$ s’écrit « quatre-vingts » (avec un $s$, car rien ne suit), mais $83$ s’écrit « quatre-vingt-trois » (sans $s$, car un nombre suit). De même, $300$ s’écrit « trois cents », alors que $304$ s’écrit « trois cent quatre ». Enfin, $3\,000$ s’écrit « trois mille » et $3\,000\,000$ s’écrit « trois millions » : « mille » ne prend jamais de $s$, contrairement à « million » et « milliard ».

Les grands nombres : jusqu’au milliard. Un milliard vaut mille millions : $1\,000\,000\,000$ (un $1$ suivi de neuf zéros). On rencontre ces nombres dans les données réelles : la population mondiale dépasse $8$ milliards d’habitants, la distance de la Terre au Soleil est d’environ $150$ millions de kilomètres.

Exemple. $8\,142\,000\,000$ se découpe en $8$ (milliards), $142$ (millions), $000$ (milliers) et $000$ (unités) : il se lit « huit milliards cent quarante-deux millions ».

Définition. Les unités de numération sont liées entre elles par des rapports de $10$ : $1$ dizaine $= 10$ unités, $1$ centaine $= 10$ dizaines $= 100$ unités, $1$ millier $= 10$ centaines $= 1\,000$ unités. Ces liens permettent de répondre à deux questions différentes, qu’il ne faut pas confondre :

• le chiffre des centaines de $45\,382$ est $3$ (le chiffre écrit au rang des centaines) ;
• le nombre de centaines dans $45\,382$ est $453$ (on garde tous les chiffres jusqu’au rang des centaines : $45\,382 = 453 \times 100 + 82$).

→ S’entraîner : Exercice 1

→ S’entraîner : Exercice 9

2. Les nombres décimaux : partie entière et partie décimale

Un nombre décimal permet d’exprimer une quantité qui n’est pas un nombre entier d’unités, par exemple un prix en euros et centimes, ou une longueur en mètres et centimètres. Il s’écrit avec une virgule qui sépare deux parties.

Définition. Dans un nombre décimal, la partie entière est le nombre de fois où l’unité est entièrement contenue ; la partie décimale exprime ce qu’il reste, en dixièmes, centièmes, millièmes…

Exemple. Dans $12{,}75$, la partie entière est $12$ et la partie décimale est $75$ centièmes. Le chiffre $7$ est le chiffre des dixièmes, le chiffre $5$ est le chiffre des centièmes.

Attention. Ajouter des zéros à la fin de la partie décimale ne change pas la valeur du nombre : $3{,}5$ et $3{,}50$ représentent exactement la même quantité. En revanche, un zéro ajouté entre la virgule et un autre chiffre change tout : $3{,}05$ n’est pas égal à $3{,}5$.

Définition. Les unités de la partie décimale prolongent celles de la partie entière : $1$ unité $= 10$ dixièmes $= 100$ centièmes $= 1\,000$ millièmes, c’est-à-dire $1 = \dfrac{10}{10} = \dfrac{100}{100} = \dfrac{1000}{1000}$. Un dixième s’écrit $\dfrac{1}{10} = 0{,}1$, un centième $\dfrac{1}{100} = 0{,}01$, un millième $\dfrac{1}{1000} = 0{,}001$.

Propriété — Plusieurs écritures pour un même nombre décimal. Un nombre décimal peut s’écrire :

• avec une virgule (écriture décimale) : $12{,}75$ ;
• sous forme de décomposition : $12{,}75 = 12 + \dfrac{7}{10} + \dfrac{5}{100}$, ou encore $12{,}75 = 12 + \dfrac{75}{100}$ ;
• sous forme d’une fraction décimale (dénominateur $10$, $100$, $1\,000$…) : $12{,}75 = \dfrac{1275}{100}$ (on compte $1\,275$ centièmes).

Exemple. $4{,}308 = 4 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{0}{100} + \dfrac{8}{1000} = 4 + \dfrac{308}{1000} = \dfrac{4308}{1000}$. Inversement, $\dfrac{56}{10} = 5{,}6$ et $\dfrac{7}{100} = 0{,}07$ : le nombre de zéros du dénominateur donne le nombre de chiffres après la virgule.

→ S’entraîner : Exercice 2

→ S’entraîner : Exercice 10

3. Comparer et ranger des nombres décimaux

Pour comparer deux nombres décimaux, on compare d’abord leur partie entière : le plus grand nombre est celui qui a la plus grande partie entière. Si les parties entières sont égales, on compare chiffre par chiffre la partie décimale, en commençant par les dixièmes.

Vocabulaire. Les symboles de comparaison se lisent ainsi :

• « $<$ » se lit « est inférieur à » (plus petit que) ;
• « $>$ » se lit « est supérieur à » (plus grand que) ;
• « $\leqslant$ » se lit « est inférieur ou égal à » ;
• « $\geqslant$ » se lit « est supérieur ou égal à ».

Ranger des nombres, c’est les écrire les uns à la suite des autres selon un ordre précis : dans l’ordre croissant, on les range du plus petit au plus grand ; dans l’ordre décroissant, on les range du plus grand au plus petit.

Exemple. Comparons $8{,}45$ et $8{,}5$. Les parties entières sont égales ($8$). On compare les dixièmes : $4$ contre $5$. Comme $4 < 5$, on a $8{,}45 < 8{,}5$, même si $8{,}45$ « a l’air plus long » à écrire.

Astuce. Pour ne pas se tromper, on peut compléter les parties décimales avec des zéros pour qu’elles aient le même nombre de chiffres : $8{,}45$ et $8{,}50$. La comparaison devient alors celle de deux entiers, $45$ et $50$.

Pour ranger plusieurs nombres décimaux, on applique cette même méthode de comparaison en répétant les étapes : d’abord les parties entières, puis les dixièmes, puis les centièmes si besoin.

Exemple. Rangeons dans l’ordre croissant $12{,}5$ ; $12{,}45$ ; $9{,}8$ ; $12{,}52$. Le nombre $9{,}8$ a la plus petite partie entière ($9$) : il est donc le plus petit. Pour les trois autres, tous de partie entière $12$, on compare les dixièmes : $12{,}45$ a $4$ dixièmes, tandis que $12{,}5$ et $12{,}52$ en ont $5$ : $12{,}45$ vient donc juste après $9{,}8$. Il reste à départager $12{,}5$ (soit $12{,}50$) et $12{,}52$ par leurs centièmes : $0 < 2$, donc $12{,}5 < 12{,}52$. Le rangement croissant complet est $9{,}8 < 12{,}45 < 12{,}5 < 12{,}52$.

→ S’entraîner : Exercice 4

4. Encadrer, intercaler et arrondir un nombre décimal

Définition. Encadrer un nombre, c’est trouver deux nombres — l’un plus petit, l’autre plus grand — entre lesquels il se situe. Arrondir un nombre, c’est remplacer sa valeur exacte par la valeur approchée la plus proche, à un rang donné.

Exemple. Le nombre $6{,}283$ est encadré par les entiers consécutifs $6 < 6{,}283 < 7$, et par les dixièmes consécutifs $6{,}2 < 6{,}283 < 6{,}3$.

Vocabulaire. Dans l’encadrement $6 < 6{,}283 < 7$, le nombre $6$ est la valeur approchée par défaut (elle est plus petite que le nombre encadré) et le nombre $7$ est la valeur approchée par excès (elle est plus grande). L’écart entre les deux bornes d’un encadrement s’appelle son amplitude : ici, l’amplitude vaut $7 - 6 = 1$, alors qu’elle vaut $6{,}3 - 6{,}2 = 0{,}1$ pour l’encadrement au dixième — un encadrement plus précis a une amplitude plus petite.

Exemple. Arrondissons $6{,}283$ au dixième. Le chiffre des dixièmes est $2$, celui des centièmes est $8$. Comme $8 \geqslant 5$, on augmente le dixième de $1$ : l’arrondi est $6{,}3$.

→ S’entraîner : Exercice 5

Intercaler un nombre décimal. Intercaler un nombre décimal entre deux autres, c’est en trouver un troisième qui se situe strictement entre les deux premiers.

Exemple. Intercalons un nombre décimal entre $5{,}45$ et $5{,}46$. On ajoute un chiffre après la virgule à chacun : $5{,}450$ et $5{,}460$. On peut alors choisir, par exemple, $5{,}456$ : on a bien $5{,}45 < 5{,}456 < 5{,}46$.

→ S’entraîner : Exercice 6

5. Repérer un nombre décimal sur une droite graduée

Sur une droite graduée régulièrement, chaque graduation représente un écart constant. Pour placer un nombre décimal, on détermine d’abord entre quels entiers il se situe, puis on compte les graduations à l’intérieur de cet intervalle.

Vocabulaire. Le point de départ d’une droite graduée, où l’on place le nombre $0$, s’appelle l’origine. Le nombre associé à un point de la droite graduée s’appelle l’abscisse de ce point : par exemple, on note $A(3{,}7)$ pour dire que le point $A$ a pour abscisse $3{,}7$.

Exemple. Sur une droite graduée de $0{,}1$ en $0{,}1$ entre $3$ et $4$, le nombre $3{,}7$ se trouve à la $7^{\text{e}}$ graduation après $3$ : on peut noter ce point $A(3{,}7)$.

Propriété. Sur une droite graduée, l’ordre des nombres correspond à l’ordre de leur position : plus un nombre est grand, plus il est placé à droite.

→ S’entraîner : Exercice 7