Multiplication des nombres décimaux — Exercices d'application

1. Les facteurs sont $8$ et $3{,}5$. Le produit est $28$.
2. On effectue d’abord la multiplication, avant l’addition ou la soustraction.
   • $5 + 2 \times 3$ : on calcule $2 \times 3 = 6$, puis $5 + 6 = 11$.
   • $9 - 4 \times 2$ : on calcule $4 \times 2 = 8$, puis $9 - 8 = 1$.

Dans chaque cas, on effectue d’abord le calcul comme si les deux nombres étaient entiers, puis on replace la virgule en comptant le nombre de chiffres après la virgule du nombre décimal de départ.

1. On calcule $34 \times 7 = 238$. Comme $3{,}4$ a un chiffre après la virgule, on en compte un depuis la droite dans $238$ : $3{,}4 \times 7 = 23{,}8$.
2. On calcule $1205 \times 4 = 4\,820$. Comme $12{,}05$ a deux chiffres après la virgule, on en compte deux depuis la droite : $12{,}05 \times 4 = 48{,}20$, que l’on simplifie en $48{,}2$ (le zéro final ne change pas la valeur).
3. On calcule $6 \times 9 = 54$. Comme $0{,}6$ a un chiffre après la virgule : $0{,}6 \times 9 = 5{,}4$.

Lorsque les deux facteurs sont décimaux, on additionne le nombre de chiffres après la virgule des deux facteurs pour savoir où placer la virgule dans le résultat.

1. $25 \times 14 = 350$. Le premier facteur a un chiffre après la virgule, le second aussi : au total deux chiffres. On place donc la virgule à deux rangs du bord droit : $2{,}5 \times 1{,}4 = 3{,}50$, soit $3{,}5$.
2. $3 \times 7 = 21$. Chaque facteur a un chiffre après la virgule, soit deux au total : $0{,}3 \times 0{,}7 = 0{,}21$.
3. $62 \times 305 = 18\,910$. Le premier facteur ($6{,}2$) a un chiffre après la virgule, le second ($3{,}05$) en a deux : soit trois chiffres au total. On place donc la virgule à trois rangs du bord droit : $6{,}2 \times 3{,}05 = 18{,}910$, que l’on simplifie en $18{,}91$.

Multiplier par $10$, $100$ ou $1000$ décale la virgule vers la droite ; multiplier par $0{,}1$, $0{,}01$ ou $0{,}001$ la décale vers la gauche — dans les deux cas, d’autant de rangs qu’il y a de zéros (ou de chiffres après la virgule) dans le multiplicateur, en ajoutant des zéros si nécessaire.

1. Multiplier par $10$ décale la virgule d’un rang : $5{,}3 \times 10 = 53$.
2. Multiplier par $100$ décale la virgule de deux rangs : $0{,}84 \times 100 = 84$.
3. Multiplier par $1000$ décale la virgule de trois rangs ; comme $12{,}6$ n’a qu’un chiffre après la virgule, il faut ajouter deux zéros pour compléter le décalage : $12{,}6 \times 1000 = 12\,600$.
4. Multiplier par $100$ décale la virgule de deux rangs : $0{,}09 \times 100 = 9$.
5. Multiplier par $0{,}1$ décale la virgule d’un rang vers la gauche : $56 \times 0{,}1 = 5{,}6$.
6. Multiplier par $0{,}01$ décale la virgule de deux rangs vers la gauche : $320 \times 0{,}01 = 3{,}2$.
7. Multiplier par $0{,}001$ décale la virgule de trois rangs vers la gauche : $4\,500 \times 0{,}001 = 4{,}5$.

1. L’aire d’un rectangle s’obtient en multipliant sa longueur par sa largeur. Pour un ordre de grandeur rapide, on arrondit chaque dimension à l’unité : $5{,}8$ s’arrondit à $6$, $3{,}2$ s’arrondit à $3$. Leur produit donne $6 \times 3 = 18\,\text{m}^2$ : on attend donc une aire exacte proche de $18\,\text{m}^2$.
2. On calcule $58 \times 32 = 1\,856$. Les deux facteurs ont chacun un chiffre après la virgule, soit deux au total : $5{,}8 \times 3{,}2 = 18{,}56\,\text{m}^2$. Ce résultat est bien cohérent avec l’ordre de grandeur de $18\,\text{m}^2$ trouvé précédemment.
3. Pour savoir combien de paquets sont nécessaires, on divise l’aire totale par l’aire couverte par un paquet : $18{,}56 \div 2{,}5 = 7{,}424$. Ce quotient n’est pas un nombre entier : $7$ paquets ne couvriraient que $7 \times 2{,}5 = 17{,}5\,\text{m}^2$, ce qui est insuffisant pour les $18{,}56\,\text{m}^2$ à recouvrir. Il faut donc prévoir un paquet supplémentaire, même partiellement utilisé : le carreleur doit acheter $8$ paquets complets.

1. L’aire d’une plaque rectangulaire s’obtient en multipliant sa longueur par sa largeur : $1{,}25 \times 0{,}8 = 1{,}00\,\text{m}^2$, soit exactement $1\,\text{m}^2$.
2. Le prix d’une plaque se calcule en multipliant son aire (en $\text{m}^2$) par le prix au mètre carré : $1 \times 14{,}50 = 14{,}50$ €.
3. Pour un ordre de grandeur rapide, on arrondit le prix d’une plaque à $15$ € et on multiplie par le nombre de plaques : $6 \times 15 = 90$ € environ. Le prix exact s’obtient en multipliant le prix réel d’une plaque par $6$ : $6 \times 14{,}50 = 87$ €, un résultat cohérent avec l’estimation de $90$ €.
4. On compare le prix total au budget disponible : $87 < 500$, donc le client peut largement payer sa commande. Il lui reste même $500 - 87 = 413$ € une fois la commande réglée.

1. a. $0{,}9 < 1$, donc $12 \times 0{,}9$ sera plus petit que $12$. b. $1{,}3 > 1$, donc $12 \times 1{,}3$ sera plus grand que $12$. c. $0{,}25 < 1$, donc $45 \times 0{,}25$ sera plus petit que $45$. d. $2{,}5 > 1$, donc $45 \times 2{,}5$ sera plus grand que $45$.
2. Vérification : a. $12 \times 0{,}9 = 10{,}8$ (plus petit que $12$, confirmé). b. $12 \times 1{,}3 = 15{,}6$ (plus grand que $12$, confirmé). c. $45 \times 0{,}25 = 11{,}25$ (plus petit que $45$, confirmé). d. $45 \times 2{,}5 = 112{,}5$ (plus grand que $45$, confirmé).

1. Le rectangle couvre $7$ colonnes et $3$ lignes de carreaux : $7 \times 3 = 21$ carreaux. Chaque carreau a une aire de $0{,}01\,\text{m}^2$, donc $0{,}7 \times 0{,}3 = 0{,}21$.
2. On regroupe les facteurs qui donnent un nombre rond : $25 \times 9{,}6 \times 4 = (25 \times 4) \times 9{,}6 = 100 \times 9{,}6 = 960$ ; $2 \times 13{,}7 \times 5 = (2 \times 5) \times 13{,}7 = 10 \times 13{,}7 = 137$ ; $125 \times 0{,}47 \times 8 = (125 \times 8) \times 0{,}47 = 1\,000 \times 0{,}47 = 470$.
3. $12{,}5 \times 8 = 12{,}5 \times 2 \times 4 = 25 \times 4 = 100$ : l’aire est $100\,\text{m}^2$.