Multiplication des nombres décimaux

1. Vocabulaire et priorité de la multiplication

Dans une multiplication, les nombres multipliés s’appellent les facteurs, et le résultat s’appelle le produit.

Exemple. Dans $4{,}25 \times 6 = 25{,}5$, les nombres $4{,}25$ et $6$ sont les facteurs, et $25{,}5$ est le produit.

Propriété. Quand un calcul mélange une multiplication avec une addition ou une soustraction, sans parenthèses, on effectue toujours la multiplication en premier.

Exemple. Calculons $2 + 3 \times 4$. On effectue d’abord la multiplication : $3 \times 4 = 12$. Il reste $2 + 12 = 14$.

Cette règle de priorité sera reprise et complétée, avec les parenthèses, au chapitre « Règles de calcul » en 5e.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Multiplier un nombre décimal par un nombre entier

Pour multiplier un nombre décimal par un nombre entier posé en colonnes, on effectue le calcul comme si les deux nombres étaient entiers, en ignorant provisoirement la virgule, puis on la replace à la fin.

Exemple. Calculons $4{,}25 \times 6$. On calcule $425 \times 6 = 2\,550$. Le nombre $4{,}25$ a deux chiffres après la virgule, donc on en compte deux depuis la droite dans $2550$ : $4{,}25 \times 6 = 25{,}50$, soit $25{,}5$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Multiplier deux nombres décimaux

La méthode est la même lorsque les deux facteurs sont des nombres décimaux : on multiplie comme des entiers, puis on additionne le nombre total de chiffres après la virgule des deux facteurs pour placer la virgule du résultat.

Exemple. Calculons $3{,}2 \times 1{,}5$. On calcule $32 \times 15 = 480$. Le premier facteur a un chiffre après la virgule, le second aussi : au total, deux chiffres. On place donc la virgule à deux chiffres du bord droit : $3{,}2 \times 1{,}5 = 4{,}80$, soit $4{,}8$.

Attention. Le nombre de chiffres après la virgule du résultat est la somme des chiffres après la virgule de chaque facteur, pas leur produit ni leur différence. Deux facteurs avec chacun un chiffre après la virgule donnent un résultat à deux chiffres après la virgule (avant simplification éventuelle des zéros inutiles).

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Multiplier par 10, 100, 1000, 0,1, 0,01 ou 0,001

Propriété. Multiplier un nombre décimal par $10$, $100$ ou $1000$ revient à décaler la virgule vers la droite d’autant de rangs qu’il y a de zéros dans le multiplicateur.

Exemple. $7{,}45 \times 10 = 74{,}5$ (la virgule avance d’un rang) ; $7{,}45 \times 100 = 745$ (la virgule avance de deux rangs) ; $7{,}45 \times 1000 = 7\,450$ (la virgule avance de trois rangs, on ajoute un zéro).

Astuce. Cette règle évite de poser une multiplication inutilement longue : il suffit de déplacer la virgule, en ajoutant des zéros si nécessaire pour avoir assez de chiffres.

Et dans l’autre sens ? Multiplier par $0{,}1$, $0{,}01$ ou $0{,}001$ revient au contraire à décaler la virgule vers la gauche, d’autant de rangs qu’il y a de chiffres après la virgule dans le multiplicateur — l’effet inverse de la multiplication par $10$, $100$ ou $1000$.

Exemple. $56 \times 0{,}1 = 5{,}6$ (la virgule recule d’un rang) ; $320 \times 0{,}01 = 3{,}2$ (la virgule recule de deux rangs) ; $4\,500 \times 0{,}001 = 4{,}5$ (la virgule recule de trois rangs).

Attention. Multiplier par un nombre plus petit que $1$ donne toujours un résultat plus petit que le nombre de départ — la section suivante explique pourquoi, et pour tous les cas.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Estimer un ordre de grandeur d’un produit

Comme pour l’addition et la soustraction, arrondir les facteurs avant de multiplier permet de vérifier rapidement qu’un résultat posé est plausible.

Exemple. Pour $4{,}25 \times 6$, un ordre de grandeur est $4 \times 6 = 24$, proche du résultat exact $25{,}5$ trouvé plus haut : le calcul semble correct.

Méthode. Pour $3{,}2 \times 1{,}5$, un ordre de grandeur est $3 \times 1{,}5 = 4{,}5$ (ou plus simplement $3 \times 2 = 6$ comme majorant), cohérent avec le résultat exact $4{,}8$.

→ S’entraîner : Exercice 5

6. Effet de la multiplication par un nombre plus petit ou plus grand que 1

Multiplier ne veut pas toujours dire « rendre plus grand » : le résultat dépend de la valeur du facteur par lequel on multiplie.

Propriété.

• Si on multiplie un nombre par un facteur plus petit que $1$ (comme $0{,}6$ ou $0{,}25$), le produit obtenu est plus petit que le nombre de départ.
• Si on multiplie un nombre par un facteur plus grand que $1$ (comme $1{,}5$ ou $2{,}5$), le produit obtenu est plus grand que le nombre de départ.
• Si on multiplie par $1$, le nombre ne change pas.

Exemple. $12 \times 0{,}9 = 10{,}8$. Comme $0{,}9 < 1$, le résultat ($10{,}8$) est bien plus petit que $12$.

Autre exemple. $12 \times 1{,}3 = 15{,}6$. Comme $1{,}3 > 1$, le résultat ($15{,}6$) est bien plus grand que $12$.

Astuce. Avant même de calculer, comparer le facteur à $1$ permet de prévoir si le résultat sera plus grand ou plus petit que le nombre de départ — un bon moyen de repérer une erreur de virgule dans un résultat posé.

→ S’entraîner : Exercice 7

7. Sens du produit et calcul astucieux

Le produit de deux décimaux, une aire. L’aire d’un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ est $L \times \ell$. Cela donne du sens au produit de deux nombres décimaux, même inférieurs à $1$ : dans un carré de côté $1$ découpé en $100$ petits carreaux (chacun d’aire $0{,}01$), le rectangle de dimensions $0{,}6$ et $0{,}4$ contient $6 \times 4 = 24$ carreaux.

Exemple. $0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}24$ : $24$ centièmes, car des dixièmes multipliés par des dixièmes donnent des centièmes. C’est aussi pour cela qu’on compte le nombre total de chiffres après la virgule des deux facteurs (voir la section 3).

Propriété. Dans un produit, on peut changer l’ordre des facteurs et les regrouper comme on veut sans changer le résultat : $a \times b = b \times a$ et $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$.

Exemple. $4 \times 7{,}3 \times 25 = (4 \times 25) \times 7{,}3 = 100 \times 7{,}3 = 730$. Et $0{,}5 \times 36 \times 2 = (0{,}5 \times 2) \times 36 = 36$.

Attention. Ce n’est vrai que pour un produit (ou une somme) : dans $4 + 7{,}3 \times 25$, la multiplication est prioritaire et on ne peut pas regrouper $4$ et $25$.

→ S’entraîner : Exercice 8