Fractions simples — Exercices d'application

1. Le dénominateur d’une fraction indique en combien de parts égales l’unité est partagée, et le numérateur combien de ces parts on considère. Ici, le gâteau est partagé en $6$ parts égales (dénominateur $6$), et Léo en mange $2$ (numérateur $2$) : il a donc mangé $\dfrac{2}{6}$ du gâteau.
2. Dans une fraction $\dfrac{a}{b}$, le numérateur est le nombre du haut et le dénominateur celui du bas. Dans $\dfrac{4}{9}$, le numérateur est donc $4$ et le dénominateur est $9$.
3. Le dénominateur $5$ indique que la tablette est partagée en $5$ carrés (ou parts) égaux, et le numérateur $3$ indique que l’on en considère $3$ : $\dfrac{3}{5}$ d’une tablette de chocolat correspond donc à $3$ carrés sur les $5$ parts égales dans lesquelles la tablette a été partagée.

Pour calculer une fraction d’une grandeur, la méthode est toujours la même : on divise la grandeur totale par le dénominateur pour trouver la valeur d’une part, puis on multiplie par le numérateur pour obtenir la fraction demandée.

1. Le dénominateur est $5$ : une part vaut $30 \div 5 = 6$ €. Le numérateur est $2$, donc on prend deux parts : $6 \times 2 = 12$ €. Ainsi, $\dfrac{2}{5}$ de $30$ € vaut $12$ €.
2. Le dénominateur est $6$ : une part vaut $24 \div 6 = 4\,\text{kg}$. Le numérateur est $5$, donc on prend cinq parts : $4 \times 5 = 20\,\text{kg}$.
3. On convertit d’abord la durée en minutes pour éviter les erreurs d’unité : $2\,\text{h} = 120\,\text{min}$. Le dénominateur est $10$ : une part vaut $120 \div 10 = 12\,\text{min}$. Le numérateur est $7$, donc on prend sept parts : $12 \times 7 = 84\,\text{min}$.

1. Le nombre de zéros au dénominateur correspond exactement au nombre de chiffres après la virgule dans l’écriture décimale. Comme $10$ a un zéro : $\dfrac{9}{10} = 0{,}9$. Comme $100$ a deux zéros : $\dfrac{27}{100} = 0{,}27$. Comme $1000$ a trois zéros : $\dfrac{5}{1000} = 0{,}005$ (on complète avec des zéros pour obtenir bien trois chiffres après la virgule).
2. On applique la règle dans l’autre sens : $2{,}4$ a un chiffre après la virgule, donc son dénominateur est $10$ : $2{,}4 = \dfrac{24}{10}$. $0{,}17$ a deux chiffres après la virgule, donc son dénominateur est $100$ : $0{,}17 = \dfrac{17}{100}$.

1. Comme les deux fractions ont le même dénominateur ($7$), on peut comparer directement leurs numérateurs : $4 < 6$, donc $\dfrac{4}{7} < \dfrac{6}{7}$ (prendre $4$ parts sur $7$ donne forcément moins que d’en prendre $6$).
2. Toutes ces fractions ont le même dénominateur $11$ : la comparaison se ramène donc simplement à classer les numérateurs dans l’ordre croissant. On obtient $1 < 3 < 7 < 9$, donc $\dfrac{1}{11} < \dfrac{3}{11} < \dfrac{7}{11} < \dfrac{9}{11}$.
3. La règle « on compare les numérateurs » ne s’applique que si les dénominateurs sont identiques. Or $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{2}{5}$ ont des dénominateurs différents ($3$ et $5$) : les parts ne sont pas de la même taille dans les deux cas (un tiers est plus grand qu’un cinquième), donc le fait que les numérateurs soient égaux ne permet pas de conclure directement laquelle des deux fractions est la plus grande.

1. Le parcours est partagé en $8$ portions égales : chaque portion représente donc $\dfrac{1}{8}$ du parcours total (le dénominateur $8$ correspond au nombre total de parts).
2. Le premier coureur parcourt $3$ de ces portions de $\dfrac{1}{8}$ : il a donc couvert $\dfrac{3}{8}$ du parcours (numérateur $3$, pour les $3$ portions prises).
3. Le deuxième coureur parcourt les $5$ portions restantes : sa portion représente donc $\dfrac{5}{8}$ du parcours. En additionnant les deux fractions, on doit retrouver le parcours entier : $\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{3+5}{8} = \dfrac{8}{8} = 1$, ce qui correspond bien à un parcours complet (le numérateur égal au dénominateur donne toujours $1$).
4. Sur une droite graduée de $0$ à $1$ partagée en $8$ graduations égales, chaque graduation représente $\dfrac{1}{8}$ de plus. La portion du premier coureur correspondant à $\dfrac{3}{8}$, elle se termine donc à la $3^{\text{e}}$ graduation après $0$.

1. $\dfrac{18}{6}$ : $18 \div 6 = 3$, reste $0$ → égale à l’entier $3$. $\dfrac{20}{7}$ : $7 \times 2 = 14$, reste $20 - 14 = 6$, ce n’est pas nul → pas un entier. $\dfrac{35}{5}$ : $35 \div 5 = 7$, reste $0$ → égale à l’entier $7$. $\dfrac{9}{4}$ : $4 \times 2 = 8$, reste $9 - 8 = 1$, ce n’est pas nul → pas un entier.
2. $\dfrac{20}{7}$ se situe entre $2$ et $3$ (calcul ci-dessus). $\dfrac{9}{4}$ se situe entre $2$ et $3$ (calcul ci-dessus).
3. $\dfrac{11}{4}$ : $4 \times 2 = 8$, reste $11 - 8 = 3$ → se situe entre $2$ et $3$. $\dfrac{14}{3}$ : $3 \times 4 = 12$, reste $14 - 12 = 2$ → se situe entre $4$ et $5$.

1. Par définition, $b \times \dfrac{a}{b} = a$ : $5 \times \dfrac{2}{5} = 2$ ; $9 \times \dfrac{4}{9} = 4$ ; $3 \times \dfrac{7}{3} = 7$.
2. On effectue la division du numérateur par le dénominateur : $\dfrac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75$ ; $\dfrac{7}{2} = 7 \div 2 = 3{,}5$ ; $\dfrac{9}{5} = 9 \div 5 = 1{,}8$.
3. $\dfrac{15}{5} = 15 \div 5 = 3$ : un entier. $\dfrac{7}{4} = 1{,}75$ : un décimal non entier. $\dfrac{2}{6} = 2 \div 6 = 0{,}333\ldots$ : la division ne s’arrête jamais, ce n’est aucun décimal ($\dfrac{2}{6} \approx 0{,}33$).
4. Chacun reçoit $2 \div 3$ pizza, c’est-à-dire $\dfrac{2}{3}$ de pizza.

1. On multiplie numérateur et dénominateur par le même nombre : $\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{2}{8}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 25}{4 \times 25} = \dfrac{25}{100}$ ; $\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \times 2}{5 \times 2} = \dfrac{6}{10}$ et $\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \times 20}{5 \times 20} = \dfrac{60}{100}$.
2. $\dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{100} = 0{,}25$ et $\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$.
3. On divise en haut et en bas par le même nombre : $\dfrac{10}{15} = \dfrac{10 \div 5}{15 \div 5} = \dfrac{2}{3}$ ; $\dfrac{12}{16} = \dfrac{12 \div 4}{16 \div 4} = \dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{25}{100} = \dfrac{25 \div 25}{100 \div 25} = \dfrac{1}{4}$.
4. Ajouter le même nombre ne donne pas une fraction égale : $\dfrac{2}{3} \approx 0{,}67$ alors que $\dfrac{4}{5} = 0{,}8$. Il faut multiplier (ou diviser) le numérateur et le dénominateur par le même nombre, par exemple $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$.

1. $7 < 9$ donc $\dfrac{7}{9} < 1$ ; $12 > 11$ donc $\dfrac{12}{11} > 1$ ; numérateur et dénominateur égaux, donc $\dfrac{6}{6} = 1$.
2. $8 = 4 \times 2$, donc $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}$ ; comme $6 > 5$, $\dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{8}$. Ensuite $10 = 5 \times 2$, donc $\dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{10}$ ; comme $7 < 8$, $\dfrac{7}{10} < \dfrac{4}{5}$.
3. On écrit toutes les fractions avec le dénominateur $6$ : $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$ et $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$. On compare les numérateurs $2 < 3 < 5 < 7$ : $\dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2} < \dfrac{5}{6} < \dfrac{7}{6}$.

1. Même dénominateur : on additionne ou on soustrait les numérateurs. $\dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{9}$ (que l’on peut simplifier en $\dfrac{2}{3}$) ; $\dfrac{7}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$ ; $1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{5} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}$.
2. $\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8}$, donc $\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{4}{8} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{7}{8}$. $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$, donc $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
3. $4 \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{4 \times 2}{7} = \dfrac{8}{7}$. Et $\dfrac{3}{5} \times 40 = \dfrac{3 \times 40}{5} = \dfrac{120}{5} = 24$.
4. À pied ou en bus : $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{4}$. Toute la classe représente $1 = \dfrac{4}{4}$, donc à vélo : $\dfrac{4}{4} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$ des élèves.