Fractions simples

1. Le sens d’une fraction

Une fraction permet d’exprimer le résultat d’un partage. Si l’on partage une unité (un gâteau, une longueur, une quantité) en parts égales, une fraction indique combien de ces parts on considère.

Définition. La fraction $\dfrac{a}{b}$ se lit « $a$ sur $b$ » ; $b$ est le dénominateur : il indique en combien de parts égales l’unité est partagée. $a$ est le numérateur : il indique combien de ces parts on prend.

Exemple. Si l’on partage une pizza en $8$ parts égales et que l’on en mange $3$, on a mangé $\dfrac{3}{8}$ de la pizza : le dénominateur $8$ est le nombre total de parts, le numérateur $3$ est le nombre de parts mangées.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Fractions et partage de grandeurs

Une fraction peut aussi s’appliquer directement à une grandeur (une longueur, une masse, une durée) sans passer par un dessin.

Exemple. Calculons $\dfrac{3}{4}$ d’une longueur de $20\,\text{cm}$. On divise d’abord : $20 \div 4 = 5\,\text{cm}$ (une part). On multiplie ensuite par le numérateur : $5 \times 3 = 15\,\text{cm}$. Donc $\dfrac{3}{4}$ de $20\,\text{cm}$ vaut $15\,\text{cm}$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Fractions décimales et écriture décimale

Définition. Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est $10$, $100$, $1000$… Toute fraction décimale peut s’écrire sous forme d’un nombre décimal, et inversement.

Exemple. $\dfrac{7}{10} = 0{,}7$ ; $\dfrac{45}{100} = 0{,}45$ ; $\dfrac{123}{1000} = 0{,}123$. Inversement, $3{,}6 = \dfrac{36}{10}$ et $0{,}08 = \dfrac{8}{100}$.

Astuce. Le nombre de zéros au dénominateur correspond exactement au nombre de chiffres après la virgule dans l’écriture décimale.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Comparer des fractions de même dénominateur

Propriété. Quand deux fractions ont le même dénominateur, celle qui a le plus grand numérateur est la plus grande : plus on prend de parts identiques, plus la quantité est grande.

Exemple. Comparons $\dfrac{5}{9}$ et $\dfrac{7}{9}$. Les deux fractions ont le même dénominateur $9$ ; comme $5 < 7$, on a $\dfrac{5}{9} < \dfrac{7}{9}$.

Attention. Cette règle ne fonctionne que si les dénominateurs sont identiques. On ne peut pas comparer directement $\dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{3}{8}$ en regardant seulement les numérateurs (d’autres méthodes sont vues en section 8).

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Placer une fraction sur une droite graduée

Pour placer une fraction $\dfrac{a}{b}$ sur une droite graduée, on partage chaque unité en $b$ parts égales, puis on compte $a$ graduations à partir de $0$.

Exemple. Pour placer $\dfrac{5}{4}$ sur une droite graduée, on partage chaque unité en $4$ parts égales. Comme $5 > 4$, la fraction dépasse l’unité $1$ : $\dfrac{5}{4}$ se trouve donc entre $1$ et $2$, exactement à la première graduation après $1$.

Propriété. Une fraction dont le numérateur est égal au dénominateur vaut exactement $1$ : par exemple $\dfrac{6}{6} = 1$. Plus généralement, une fraction dont le numérateur est un multiple du dénominateur est égale à un nombre entier : $\dfrac{18}{6} = 3$, car $18 = 6 \times 3$.

Encadrer une fraction entre deux entiers consécutifs

Quand une fraction n’est pas égale à un nombre entier, on peut quand même savoir entre quels deux entiers consécutifs (qui se suivent) elle se situe, sans avoir besoin de la placer précisément sur une droite graduée.

Exemple. Encadrons $\dfrac{20}{7}$. On divise $20$ par $7$ : $7 \times 2 = 14$ et il reste $20 - 14 = 6$. Le reste n’est pas nul, donc $\dfrac{20}{7}$ se situe entre les deux entiers consécutifs $2$ et $3$.

→ S’entraîner : Exercice 5

→ S’entraîner : Exercice 6

6. La fraction, un quotient

Une fraction n’est pas seulement une « part de gâteau » : c’est aussi un nombre, le résultat exact d’une division.

Définition. Si $a$ et $b$ sont deux nombres entiers ($b$ non nul), la fraction $\dfrac{a}{b}$ est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$ : $b \times \dfrac{a}{b} = a$. On l’appelle le quotient de $a$ par $b$ : $\dfrac{a}{b} = a \div b$.

Exemple. Le nombre qui complète $7 \times \ldots = 3$ est $\dfrac{3}{7}$. Le nombre qui complète $4 \times \ldots = 3$ est $\dfrac{3}{4}$, et comme $3 \div 4 = 0{,}75$, on a $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$.

Propriété. En effectuant la division $a \div b$, une fraction peut être égale :

• à un nombre entier : $\dfrac{12}{4} = 3$ ;
• à un nombre décimal non entier : $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$, $\dfrac{2}{5} = 0{,}4$ ;
• à aucun nombre décimal : $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ (la division ne s’arrête jamais). On en donne alors une valeur approchée : $\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$.

Astuce. À connaître par cœur : $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ ; $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$ ; $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ ; $\dfrac{1}{5} = 0{,}2$ ; $\dfrac{1}{10} = 0{,}1$.

→ S’entraîner : Exercice 7

7. Fractions égales

Propriété. On obtient une fraction égale en multipliant (ou en divisant) le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul : $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}$.

Exemple. $\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 5}{2 \times 5} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5$ et $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 25}{4 \times 25} = \dfrac{75}{100} = 0{,}75$. Dans l’autre sens, $\dfrac{6}{8} = \dfrac{6 \div 2}{8 \div 2} = \dfrac{3}{4}$ : on dit qu’on a simplifié la fraction.

Attention. Ajouter le même nombre en haut et en bas ne donne pas une fraction égale : $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ mais $\dfrac{1 + 1}{2 + 1} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67$.

→ S’entraîner : Exercice 8

8. Comparer et ranger des fractions

Propriété — Comparer à 1. Une fraction est inférieure à 1 quand son numérateur est plus petit que son dénominateur, égale à 1 quand ils sont égaux, et supérieure à 1 quand le numérateur est plus grand.

Exemple. $\dfrac{5}{8} < 1$ et $\dfrac{9}{7} > 1$, donc $\dfrac{5}{8} < \dfrac{9}{7}$ sans aucun calcul.

Exemple. Comparons $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{5}{6}$. Comme $6 = 3 \times 2$ : $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$. Or $\dfrac{4}{6} < \dfrac{5}{6}$, donc $\dfrac{2}{3} < \dfrac{5}{6}$.

Astuce. On peut aussi comparer les écritures décimales quand elles sont simples : $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ et $\dfrac{7}{10} = 0{,}7$, donc $\dfrac{7}{10} < \dfrac{3}{4}$.

→ S’entraîner : Exercice 9

9. Additionner, soustraire, multiplier par un entier

Propriété. Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur : $\dfrac{a}{d} + \dfrac{b}{d} = \dfrac{a + b}{d}$.

Exemple. $\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{5}{7}$ ; $\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{4} = 1$ ; $1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.

Attention. On n’additionne jamais les dénominateurs : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$, et non $\dfrac{2}{4}$.

Dénominateurs multiples l’un de l’autre. On se ramène d’abord au même dénominateur avec une fraction égale.

Exemple. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{7}{10} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{7}{10} - \dfrac{2}{10} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$.

Propriété — Multiplier une fraction par un entier. On multiplie le numérateur par l’entier : $n \times \dfrac{a}{b} = \dfrac{n \times a}{b}$. C’est ainsi que l’on calcule une fraction d’une quantité (section 2).

Exemple. $3 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{5}$. Et $\dfrac{2}{3}$ de $12$ : $\dfrac{2}{3} \times 12 = \dfrac{2 \times 12}{3} = \dfrac{24}{3} = 8$ (même résultat qu’avec la méthode « $12 \div 3 = 4$, puis $4 \times 2 = 8$ »).

Le calcul avec des dénominateurs quelconques sera approfondi en 5e.

→ S’entraîner : Exercice 10