1. Le carré, le rectangle et le losange
Exercice 1 — ⭐
- Un rectangle a une longueur de et une largeur de . Quelle est la longueur du côté opposé à la longueur ? Et du côté opposé à la largeur ?
- Un carré a un côté de . Donne la longueur de ses trois autres côtés.
- Combien un rectangle possède-t-il d’angles droits ?
- Un losange a un côté de . Donne la longueur de ses trois autres côtés.
- Un quadrilatère a ses quatre côtés égaux à et ses quatre angles droits. Parmi les noms carré, rectangle et losange, lesquels lui conviennent ? Justifie.
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- La propriété clé du rectangle est que ses côtés opposés ont toujours la même longueur. Le côté opposé à la longueur () mesure donc aussi , et le côté opposé à la largeur () mesure aussi .
- Le carré est un cas particulier de rectangle dont les quatre côtés sont tous égaux entre eux, et non pas seulement les côtés opposés deux à deux. Si un côté mesure , les trois autres côtés mesurent donc aussi chacun .
- Par définition, un rectangle possède angles droits — c’est justement cette propriété qui le distingue d’un simple quadrilatère aux côtés opposés égaux.
- Un losange a, par définition, ses quatre côtés de même longueur. Si un côté mesure , les trois autres côtés mesurent donc aussi chacun .
- Ce quadrilatère a ses quatre côtés égaux (propriété du losange) et ses quatre angles droits (propriété du rectangle) : il vérifie donc à la fois la condition du losange et celle du rectangle. C’est un carré, qui est justement le nom donné à la figure qui cumule les deux propriétés — et par conséquent, les noms « losange » et « rectangle » lui conviennent aussi, tous les deux.
2. Les triangles particuliers
Exercice 2 — ⭐⭐
Pour chaque triangle décrit par ses côtés, indique s’il est équilatéral, isocèle (non équilatéral), rectangle, ou quelconque (si aucune des catégories précédentes ne s’applique).
- Un triangle de côtés , , .
- Un triangle de côtés , , .
- Un triangle de côtés , , , avec un angle droit entre les côtés de et .
- Un triangle de côtés , , , sans angle droit.
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- Un triangle équilatéral se reconnaît par ses trois côtés de même longueur. Ici, les trois côtés mesurent tous : ce triangle est donc équilatéral.
- Un triangle isocèle se reconnaît par (au moins) deux côtés égaux. Ici, deux côtés mesurent et le troisième est différent () : ce triangle est isocèle, mais pas équilatéral puisque les trois côtés ne sont pas égaux.
- Un triangle rectangle se reconnaît par la présence d’un angle droit, quelles que soient les longueurs de ses côtés. Ici, l’énoncé précise justement qu’il y a un angle droit : ce triangle est donc rectangle. Comme ses trois côtés (, et ) sont tous différents, il n’est ni équilatéral ni isocèle par ailleurs.
- Les trois côtés (, et ) sont tous différents : ce triangle n’est donc ni équilatéral ni isocèle. Comme il n’a pas d’angle droit non plus, il n’est pas rectangle : c’est un triangle quelconque.
3. Le cercle et le disque
Exercice 3 — ⭐⭐
- Un cercle a un rayon de . Calcule son diamètre.
- Un cercle a un diamètre de . Calcule son rayon.
- Explique la différence entre un cercle et un disque.
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- Le diamètre d’un cercle vaut toujours le double de son rayon : . Ici, .
- On applique la relation inverse : le rayon est la moitié du diamètre, . Ici, .
- Le cercle désigne uniquement la ligne courbe elle-même, c’est-à-dire l’ensemble des points situés exactement à la distance du centre. Le disque, lui, désigne la surface pleine délimitée par cette ligne : c’est le cercle et tout ce qu’il y a à l’intérieur. Un cercle est donc un contour, tandis qu’un disque est une surface.
4. Construire ces figures avec les instruments
Exercice 4 — ⭐⭐⭐
- Construis un rectangle de de longueur et de largeur, à la règle et à l’équerre.
- Construis un triangle équilatéral de de côté, à la règle et au compas.
- Construis un cercle de rayon , puis trace l’un de ses diamètres.
- Construis un triangle isocèle en , avec et , à la règle et au compas.
- Construis un losange dont la diagonale mesure , à l’aide d’un écartement de compas de .
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- On trace d’abord un premier côté de à la règle. L’équerre sert ensuite à garantir les angles droits du rectangle : à chaque extrémité de ce côté, on trace une perpendiculaire de . Il ne reste plus qu’à relier les deux extrémités ainsi obtenues pour fermer le rectangle.
- Pour un triangle équilatéral, le compas sert à reporter deux fois la même longueur. On trace un côté de , puis on pique le compas à chaque extrémité, réglé sur un écartement de , pour tracer deux arcs de cercle. Le point où ces deux arcs se croisent est nécessairement à des deux extrémités : c’est le troisième sommet du triangle équilatéral.
- On pique le compas au centre choisi et on règle son écartement sur (le rayon demandé), puis on trace le cercle complet. Pour tracer un diamètre, il suffit de tracer un segment qui passe par ce centre et qui relie deux points opposés du cercle : sa longueur est le double du rayon, soit .
- On trace d’abord la base de à la règle. On règle le compas sur un écartement de (la longueur commune des deux côtés égaux) : on pique en et on trace un arc de cercle, puis, sans changer l’écartement, on pique en et on trace un second arc qui coupe le premier. Le point d’intersection des deux arcs est le sommet : c’est exactement la même méthode que pour un triangle équilatéral, sauf que l’écartement du compas () est ici différent de la longueur de la base ().
- On trace d’abord la diagonale de à la règle. On règle le compas sur un écartement de : on pique en et on trace un arc de chaque côté de la droite , puis, sans changer l’écartement, on pique en et on trace un arc de chaque côté qui coupe les précédents. Les deux points d’intersection obtenus sont les sommets et : on relie ensuite –, –, – et – pour fermer le losange.
Exercice 5 — ⭐⭐⭐⭐
Un jardinier veut délimiter un massif de fleurs circulaire au centre d’une pelouse rectangulaire de sur . Il souhaite que le cercle ait le plus grand rayon possible tout en restant entièrement à l’intérieur du rectangle, sans toucher les bords.
- Quelle est la plus petite des deux dimensions du rectangle ?
- En déduire le plus grand diamètre possible pour le cercle inscrit dans ce rectangle.
- Quel est alors le rayon maximal du massif circulaire ?
- Si le jardinier choisit finalement un rayon de , ce cercle tient-il dans le rectangle sans toucher les bords ?
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- Le rectangle mesure de longueur et de largeur : la plus petite des deux dimensions est donc la largeur, .
- Un cercle contenu dans un rectangle est nécessairement limité par la plus petite dimension de ce rectangle, car son diamètre ne peut pas dépasser la largeur sans sortir du rectangle. Le plus grand diamètre théorique possible est donc égal à cette plus petite dimension : .
- Le rayon est la moitié du diamètre : le rayon maximal est donc .
- Pour un rayon de , le diamètre correspondant est . Comme est inférieur au diamètre maximal de trouvé à la question 2, ce cercle tient bien à l’intérieur du rectangle, sans toucher ses bords.
Exercice 6 — ⭐⭐⭐⭐ Le cercle circonscrit à un carré
On construit un carré de de côté, puis on trace ses deux diagonales et , qui se coupent en un point .
- Rappelle la propriété du cours sur les diagonales d’un carré.
- Sans mesurer, que peux-tu dire des quatre distances , , et ? Justifie à l’aide de la propriété rappelée à la question 1.
- En déduire qu’il existe un cercle de centre qui passe par les quatre sommets , , et du carré.
- Décris une méthode pour tracer ce cercle au compas, à partir de la construction déjà faite.
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- Dans un carré, les diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu.
- Comme est le milieu commun des deux diagonales et , il est à égale distance des deux extrémités de chaque diagonale : (moitiés de la diagonale ) et (moitiés de la diagonale ). Or les deux diagonales ont la même longueur, donc leurs moitiés aussi : . Les quatre distances sont donc toutes égales.
- Un cercle est justement l’ensemble des points situés à égale distance d’un centre. Comme les quatre sommets , , et sont tous à la même distance du point (question 2), ils appartiennent tous au cercle de centre et de rayon cette distance commune.
- On mesure au compas l’écartement (pointe sèche en , mine en ), puis, sans changer cet écartement, on trace le cercle complet de centre : il passe alors automatiquement par , et aussi, puisque ces trois points sont à la même distance de que .