Figures planes usuelles

1. Le carré, le rectangle et le losange

Définition. Un rectangle est un quadrilatère (figure à quatre côtés) qui possède quatre angles droits, avec des côtés opposés de même longueur. Un carré est un rectangle particulier dont les quatre côtés ont tous la même longueur. Un losange est un quadrilatère qui possède ses quatre côtés de même longueur.

Un rectangle a des côtés opposés égaux (codés par un ou deux traits selon la paire) ; un carré a ses quatre côtés égaux ; un losange a lui aussi ses quatre côtés égaux, mais sans angle droit en général. Les petits carrés marquent les angles droits.

Propriété. Dans un rectangle comme dans un carré, les diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu. Dans un losange, les diagonales n’ont pas forcément la même longueur, mais elles se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

Attention. Un carré a à la fois ses quatre côtés égaux (comme un losange) et ses quatre angles droits (comme un rectangle) : un carré est donc à la fois un rectangle et un losange. Un rectangle qui n’est pas un carré n’a pas ses côtés tous égaux, et un losange qui n’est pas un carré n’a pas d’angle droit.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Les triangles particuliers

Définition. Selon ses côtés ou ses angles, un triangle porte un nom particulier :

un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur ;
un triangle isocèle a (au moins) deux côtés de même longueur ;
un triangle rectangle possède un angle droit ;
un triangle qui n’entre dans aucune de ces catégories (trois côtés de longueurs différentes, aucun angle droit) est appelé triangle quelconque.

Quatre triangles : équilatéral (trois côtés égaux, marqués d'un même trait), isocèle (deux côtés égaux), rectangle (un angle droit, marqué par le petit carré) et quelconque (aucune propriété particulière).

Attention. Un triangle équilatéral est un cas particulier de triangle isocèle (il a même plus de deux côtés égaux : les trois), mais l’inverse n’est pas vrai : un triangle isocèle n’est pas forcément équilatéral.

Vérifier un angle droit à l’équerre. Comme pour un angle isolé, on peut vérifier qu’un triangle est rectangle en un sommet en y posant une équerre : si les deux bords de l’équerre coïncident exactement avec les deux côtés issus de ce sommet, l’angle est droit et le triangle est rectangle en ce sommet.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Le cercle et le disque

Définition. Le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est l’ensemble des points situés exactement à la distance $r$ du point $O$ . Le disque est la surface délimitée par ce cercle, c’est-à-dire le cercle et son intérieur.

Le rayon relie le centre

O

à un point du cercle ; le diamètre traverse tout le cercle en passant par le centre.

Propriété. Le diamètre d’un cercle mesure exactement le double du rayon : $d = 2 \times r$ .

Remarque. Le mot « rayon » désigne parfois le segment qui relie le centre à un point du cercle, et parfois la longueur commune de tous ces segments : « trace un rayon » (un segment parmi une infinité de possibles) et « le rayon vaut $5\,\text{cm}$ » (la longueur, toujours la même) sont donc deux usages différents du même mot.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Construire ces figures avec les instruments

Construction d'un rectangle à la règle et à l'équerre : un premier côté, deux perpendiculaires à ses extrémités, puis le côté qui ferme la figure.

📋 Méthode — Construire un rectangle avec règle et équerre

Tracer un premier côté du rectangle à la règle, de la longueur voulue.
À chaque extrémité, utiliser l’équerre pour tracer une perpendiculaire de la largeur voulue.
Relier les deux extrémités obtenues pour fermer le rectangle.
Vérifier avec l’équerre que les quatre angles sont bien droits.

Construction d'un losange à partir de ses diagonales : deux arcs de même rayon tracés depuis chaque extrémité de la première diagonale donnent les deux autres sommets.

📋 Méthode — Construire un losange connaissant ses diagonales

Tracer la première diagonale à la règle, de la longueur voulue.
Piquer le compas à une extrémité de cette diagonale, avec un écartement adapté à la longueur voulue pour les côtés, et tracer un arc de chaque côté de la diagonale.
Sans changer l’écartement, piquer le compas à l’autre extrémité de la diagonale, et tracer un arc de chaque côté qui coupe les deux précédents.
Les deux points d’intersection obtenus sont les deux autres sommets du losange.

Construction d'un triangle par la méthode des deux arcs de cercle : les arcs tracés depuis les deux extrémités de la base se coupent au troisième sommet.

📋 Méthode — Construire un triangle équilatéral avec le compas

Tracer un premier côté à la règle, de la longueur voulue.
Piquer le compas à une extrémité du côté, avec un écartement égal à la longueur du côté, et tracer un arc de cercle.
Piquer le compas à l’autre extrémité, avec le même écartement, et tracer un second arc.
Le point d’intersection des deux arcs est le troisième sommet du triangle.

📋 Méthode — Construire un triangle isocèle

Tracer le côté de base à la règle, de la longueur voulue.
Piquer le compas à une extrémité de la base, avec un écartement égal à la longueur commune des deux côtés égaux, et tracer un arc de cercle.
Piquer le compas à l’autre extrémité de la base, avec le même écartement, et tracer un second arc.
Le point d’intersection des deux arcs est le troisième sommet du triangle isocèle.

Remarque. C’est exactement la même méthode que pour le triangle équilatéral ci-dessus : la seule différence est que l’écartement du compas (la longueur des deux côtés égaux) peut être différent de la longueur de la base. Dans le triangle équilatéral, les trois longueurs coïncident.

📋 Méthode — Construire un cercle avec le compas

À l’aide d’une règle graduée, régler l’écartement du compas sur le rayon voulu : la pointe sèche sur la graduation $0$ , la mine sur la graduation correspondant au rayon.
Piquer la pointe sèche exactement sur le centre choisi, sans la déplacer pendant tout le tracé.
Faire tourner le compas d’un tour complet autour du centre, en laissant la mine tracer le cercle sur le papier.

Construction d'un cercle au compas : écartement réglé sur le rayon, pointe sèche fixe sur le centre, tour complet.

→ S’entraîner : Exercice 4

Ce que tu vas apprendre

1. Le carré, le rectangle et le losange

2. Les triangles particuliers

3. Le cercle et le disque

4. Construire ces figures avec les instruments