Division — Exercices d'application

Pour chaque division, on cherche le plus grand multiple du diviseur qui ne dépasse pas le dividende : ce multiple donne le quotient, et ce qu’il reste donne le reste. On vérifie ensuite grâce à la relation $a = b \times q + r$.

1. Le plus grand multiple de $5$ qui ne dépasse pas $47$ est $5 \times 9 = 45$ (le suivant, $5 \times 10 = 50$, dépasserait $47$). Le quotient est donc $9$, et le reste est $47 - 45 = 2$. Vérification : $5 \times 9 + 2 = 47$. ✓
2. Le plus grand multiple de $8$ qui ne dépasse pas $93$ est $8 \times 11 = 88$. Le quotient est $11$, le reste est $93 - 88 = 5$. Vérification : $8 \times 11 + 5 = 93$. ✓
3. Le plus grand multiple de $12$ qui ne dépasse pas $126$ est $12 \times 10 = 120$. Le quotient est $10$, le reste est $126 - 120 = 6$. Vérification : $12 \times 10 + 6 = 126$. ✓

1. Les multiples de $6$ compris entre $20$ et $50$ sont : $24\,;\ 30\,;\ 36\,;\ 42\,;\ 48$.
2. $72 \div 4 = 18$, reste $0$ → 4 est diviseur de 72. $72 \div 5$ : $5 \times 14 = 70$, reste $2$ → 5 n’est pas diviseur de 72. $72 \div 8 = 9$, reste $0$ → 8 est diviseur de 72. $72 \div 9 = 8$, reste $0$ → 9 est diviseur de 72. $72 \div 11$ : $11 \times 6 = 66$, reste $6$ → 11 n’est pas diviseur de 72. Les diviseurs de 72 parmi cette liste sont donc 4, 8 et 9.
3. $315$ ne se termine pas par un chiffre pair, donc pas divisible par 2 ; il se termine par $5$, donc divisible par 5 (mais pas par $10$, qui demande un $0$) ; la somme de ses chiffres est $3 + 1 + 5 = 9$, divisible par $3$ et par $9$, donc $315$ est divisible par 3 et par 9.

Dans chacun de ces cas, la division euclidienne ne « tombe pas juste » : on continue donc le calcul après la virgule en abaissant des zéros successifs, jusqu’à obtenir un reste nul.

1. $4 \times 3 = 12$, il reste $3$. On place la virgule et on abaisse un zéro : $30$. $4 \times 7 = 28$, il reste $2$. On abaisse un nouveau zéro : $20$. $4 \times 5 = 20$, il ne reste rien. Le quotient exact est $15 \div 4 = 3{,}75$.
2. $8 \times 1 = 8$, il reste $1$. On place la virgule et on abaisse un zéro : $10$. $8 \times 1 = 8$, il reste $2$. On abaisse un nouveau zéro : $20$. $8 \times 2 = 16$, il reste $4$. On abaisse un dernier zéro : $40$. $8 \times 5 = 40$, il ne reste rien. Le quotient exact est $9 \div 8 = 1{,}125$.
3. $2 \times 28 = 56$, il reste $1$. On place la virgule et on abaisse un zéro : $10$. $2 \times 5 = 10$, il ne reste rien. Le quotient exact est $57 \div 2 = 28{,}5$.
4. Ici le dividende a déjà une virgule : $6 \times 8 = 48$, il reste $4$. On abaisse le chiffre suivant du dividende, le $5$ après la virgule — on place donc la virgule au quotient à ce moment-là : $45$. $6 \times 7 = 42$, il reste $3$. On abaisse un zéro : $30$. $6 \times 5 = 30$, il ne reste rien. Le quotient exact est $52{,}5 \div 6 = 8{,}75$.

1. Le diviseur $0{,}6$ a un chiffre après la virgule : on multiplie les deux nombres par $10$. $7{,}2 \div 0{,}6 = 72 \div 6 = 12$.
2. Le diviseur $0{,}9$ a un chiffre après la virgule : on multiplie les deux nombres par $10$. $5{,}4 \div 0{,}9 = 54 \div 9 = 6$.
3. Le diviseur $0{,}04$ a deux chiffres après la virgule : on multiplie les deux nombres par $100$. $3{,}6 \div 0{,}04 = 360 \div 4 = 90$.
4. Le diviseur $0{,}5$ a un chiffre après la virgule : on multiplie les deux nombres par $10$. $12 \div 0{,}5 = 120 \div 5 = 24$.

La règle est de décaler la virgule vers la gauche d’autant de rangs qu’il y a de zéros dans le diviseur, en ajoutant des zéros si nécessaire.

1. Diviser par $10$ décale la virgule d’un rang vers la gauche : $63{,}4 \div 10 = 6{,}34$.
2. Diviser par $100$ décale la virgule de deux rangs ; il faut ajouter un zéro avant le $8$ pour compléter : $8{,}5 \div 100 = 0{,}085$.
3. Diviser par $1000$ décale la virgule de trois rangs ; comme $920$ n’a que trois chiffres, on ajoute un zéro devant : $920 \div 1000 = 0{,}92$.
4. Diviser par $100$ décale la virgule de deux rangs ; il faut ajouter un zéro devant le $5$ : $5 \div 100 = 0{,}05$.
5. Diviser par $10$, c’est multiplier par $0{,}1$ : $47 \div 10 = 47 \times 0{,}1 = 4{,}7$. Diviser par $0{,}1$, c’est multiplier par $10$ : $6{,}3 \div 0{,}1 = 6{,}3 \times 10 = 63$. Diviser par $0{,}01$, c’est multiplier par $100$ : $0{,}9 \div 0{,}01 = 0{,}9 \times 100 = 90$.

1. $22 \div 7 \approx 3{,}1428...$ : le chiffre des millièmes ($2$) est inférieur à $5$, on garde le centième tel quel : $22 \div 7 \approx 3{,}14$ au centième près. $17 \div 6 \approx 2{,}8333...$ : le chiffre des millièmes ($3$) est inférieur à $5$, on garde le centième tel quel : $17 \div 6 \approx 2{,}83$ au centième près.
2. Ordre de grandeur : $4123 \approx 4000$ et $62 \approx 60$, donc $4000 \div 60 \approx 66{,}7$. Valeur exacte : $4123 \div 62 = 66{,}5$. C’est très proche de l’estimation : le résultat est cohérent.
3. Ordre de grandeur : $5850 \approx 6000$ et $45 \approx 50$, donc $6000 \div 50 = 120$. Le résultat annoncé par l’élève, $13$, est environ dix fois plus petit que cette estimation : il est donc faux (l’élève a sans doute oublié un chiffre au quotient). Le résultat exact est $5850 \div 45 = 130$.

1. On cherche le plus grand multiple de $8$ qui ne dépasse pas $175$ : $8 \times 21 = 168$ convient, alors que $8 \times 22 = 176$ dépasserait $175$. Le quotient est donc $21$, et le reste est $175 - 168 = 7$.
2. Le quotient de la division, $21$, correspond exactement au nombre d’équipes complètes de $8$ joueurs que l’on peut former.
3. Le reste de la division, $7$, correspond au nombre de joueurs qui restent une fois ces équipes complètes formées : ils ne sont pas assez nombreux pour constituer une $22^{\text{e}}$ équipe complète.
4. Ici, contrairement à un partage où l’on ignorerait simplement le reste, la situation demande que tous les joueurs participent. Il faut donc ajouter une équipe supplémentaire, même incomplète, pour les $7$ joueurs restants : au total, $21 + 1 = 22$ équipes.

1. Pour savoir combien de pains de $0{,}8\,\text{kg}$ on peut façonner avec $38{,}4\,\text{kg}$ de pâte, on divise la masse totale par la masse d’un pain : le diviseur $0{,}8$ a un chiffre après la virgule, donc $38{,}4 \div 0{,}8 = 384 \div 8 = 48$. La boulangère peut donc façonner $48$ pains.
2. La division est l’opération inverse de la multiplication : pour vérifier, on multiplie le nombre de pains obtenu par la masse d’un pain, et l’on doit retrouver la masse totale de départ. $48 \times 0{,}8 = 38{,}4\,\text{kg}$ : on retrouve bien les $38{,}4\,\text{kg}$ de pâte de départ, le calcul est donc confirmé. ✓
3. La recette totale s’obtient en multipliant le nombre de pains vendus par le prix d’un pain : $48 \times 2{,}50 = 120$ €.
4. On compare la recette obtenue à l’objectif fixé : $120 > 110$, l’objectif de la boulangère est donc atteint, avec même $120 - 110 = 10$ € de plus que prévu.