Division

1. La division euclidienne

Définition. Diviser un nombre entier $a$ (le dividende) par un nombre entier $b$ (le diviseur) non nul, c’est chercher combien de fois $b$ est contenu dans $a$. Le résultat est composé d’un quotient $q$ et d’un reste $r$, avec la relation $a = b \times q + r$, où $r$ est strictement inférieur à $b$.

Exemple. Divisons $53$ par $6$. On cherche le plus grand multiple de $6$ qui ne dépasse pas $53$ : $6 \times 8 = 48$ et $6 \times 9 = 54$ (trop grand). Le quotient est donc $8$ et le reste est $53 - 48 = 5$. On vérifie : $6 \times 8 + 5 = 53$. ✓

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2. Multiples et diviseurs d’un nombre

Définition. Un nombre entier $a$ est un multiple d’un nombre entier $b$ (non nul) s’il existe un nombre entier $k$ tel que $a = b \times k$. On dit alors aussi que $b$ est un diviseur de $a$.

Propriété. $b$ est un diviseur de $a$ si, et seulement si, la division euclidienne de $a$ par $b$ a un reste nul.

Exemple. $56 = 8 \times 7$, donc $56$ est un multiple de $8$ (et aussi de $7$) ; $8$ et $7$ sont des diviseurs de $56$. On peut le vérifier par division : $56 \div 8 = 7$ (reste $0$) et $56 \div 7 = 8$ (reste $0$).

Astuce — Critères de divisibilité. Pour aller plus vite sans poser de division, on peut utiliser ces critères usuels. Un nombre est divisible :

• par $2$ s’il se termine par $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$ (nombre pair) ;
• par $5$ s’il se termine par $0$ ou $5$ ;
• par $10$ s’il se termine par $0$ ;
• par $4$ si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par $4$ ;
• par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ ;
• par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.

Exemple. Le nombre $624$ : il se termine par $4$, donc il est divisible par $2$ ; $6 + 2 + 4 = 12$, qui est divisible par $3$ (mais pas par $9$), donc $624$ est divisible par $3$ mais pas par $9$ ; ses deux derniers chiffres forment $24$, divisible par $4$, donc $624$ est divisible par $4$ ; il ne se termine ni par $0$ ni par $5$, donc il n’est divisible ni par $5$ ni par $10$.

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3. Poser une division dont le quotient est décimal

Lorsque la division euclidienne ne « tombe pas juste », on peut continuer le calcul au-delà de la virgule pour obtenir un quotient décimal, en ajoutant un zéro au reste à chaque étape.

Exemple. Divisons $27$ par $4$. $4 \times 6 = 24$, il reste $3$. On place la virgule et on abaisse un zéro : $30$. $4 \times 7 = 28$, il reste $2$. On abaisse un nouveau zéro : $20$. $4 \times 5 = 20$, il ne reste rien. Le quotient exact est $27 \div 4 = 6{,}75$.

Et si le dividende a déjà une virgule ? La méthode est la même : on place la virgule au quotient au moment où on l’abaisse dans le dividende, puis on continue normalement.

Exemple. Divisons $39{,}6$ par $8$. $8 \times 4 = 32$, il reste $7$. On abaisse le chiffre suivant du dividende, le 6 après la virgule : on place donc aussi la virgule au quotient à ce moment-là, et on abaisse : $76$. $8 \times 9 = 72$, il reste $4$. On abaisse un zéro : $40$. $8 \times 5 = 40$, il ne reste rien. Le quotient exact est $39{,}6 \div 8 = 4{,}95$.

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4. Diviser par un nombre décimal

Quand le diviseur est un nombre décimal (par exemple $0{,}8$), on ne peut pas poser la division directement. On utilise alors la propriété suivante.

Propriété. Multiplier le dividende et le diviseur par un même nombre (une puissance de $10$) ne change pas le quotient. On l’utilise pour rendre le diviseur entier avant de poser la division.

Exemple. Calculons $38{,}4 \div 0{,}8$. Le diviseur $0{,}8$ a un chiffre après la virgule : on multiplie le dividende et le diviseur par $10$, ce qui donne $384 \div 8 = 48$. Donc $38{,}4 \div 0{,}8 = 48$.

Autre exemple. Calculons $7{,}2 \div 0{,}04$. Le diviseur $0{,}04$ a deux chiffres après la virgule : on multiplie le dividende et le diviseur par $100$, ce qui donne $720 \div 4 = 180$. Donc $7{,}2 \div 0{,}04 = 180$.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Diviser par 10, 100, 1000

Propriété. Diviser un nombre décimal par $10$, $100$ ou $1000$ revient à décaler la virgule vers la gauche d’autant de rangs qu’il y a de zéros dans le diviseur.

Exemple. $84{,}5 \div 10 = 8{,}45$ (la virgule recule d’un rang) ; $84{,}5 \div 100 = 0{,}845$ (la virgule recule de deux rangs, on ajoute un zéro devant) ; $84{,}5 \div 1000 = 0{,}0845$ (la virgule recule de trois rangs).

Astuce. Cette règle est l’exact opposé de la multiplication par $10$, $100$ ou $1000$ vue au chapitre précédent : dans un cas la virgule avance, dans l’autre elle recule.

Propriété. Diviser par $10$, $100$ ou $1\,000$ donne le même résultat que multiplier par $0{,}1$, $0{,}01$ ou $0{,}001$ : on cherche dans les deux cas un nombre $10$, $100$ ou $1\,000$ fois plus petit. Inversement, diviser par $0{,}1$, $0{,}01$ ou $0{,}001$ revient à multiplier par $10$, $100$ ou $1\,000$.

Exemple. $84{,}5 \div 10 = 84{,}5 \times 0{,}1 = 8{,}45$ et $3{,}2 \div 0{,}1 = 3{,}2 \times 10 = 32$ (il y a $32$ dixièmes dans $3{,}2$).

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6. Valeur approchée et ordre de grandeur d’un quotient

Certaines divisions ne s’arrêtent jamais (le reste ne devient jamais nul). On donne alors une valeur approchée du quotient. Par ailleurs, avant même de calculer, estimer un ordre de grandeur permet de vérifier qu’un résultat est plausible.

Exemple. $22 \div 7 \approx 3{,}1428...$ ne s’arrête jamais. Pour arrondir au centième, on regarde le chiffre des millièmes ($2$), inférieur à $5$ : $22 \div 7 \approx 3{,}14$ au centième près.

Méthode — Estimer un ordre de grandeur. On arrondit le dividende et le diviseur à des nombres « ronds », proches des valeurs de départ, pour calculer rapidement de tête. Ce résultat approximatif permet de repérer une erreur de virgule ou de chiffre dans un calcul posé.

Exemple. Pour vérifier $4123 \div 62 = 66{,}5$, un ordre de grandeur est $4000 \div 60 \approx 66{,}7$ : les deux résultats sont proches, le calcul est cohérent.

→ S’entraîner : Exercice 6

7. Vérifier et interpréter un résultat de division

Propriété. La division est l’opération inverse de la multiplication : si $a \div b = q$ (division exacte, sans reste), alors $q \times b = a$. Cette propriété permet de vérifier un calcul de division.

Attention. Dans un problème de partage, il faut toujours réfléchir au sens du reste ou du quotient décimal : parfois on arrondit au quotient entier inférieur (par exemple, le nombre de bus complets), parfois il faut ajouter $1$ au quotient entier pour que tout le monde soit pris en compte (par exemple, le nombre de bus nécessaires pour transporter tout le monde, même incomplet).

Exemple. $128$ élèves partent en sortie, un bus contient $50$ places. $128 \div 50 = 2{,}56$. Deux bus ne suffisent pas ($100$ places seulement) : il faut donc $3$ bus, même si le troisième n’est pas rempli.

→ S’entraîner : Exercice 7