6e

Angles — Exercices d'application

1. Qu’est-ce qu’un angle ?

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Exercice 1 — ⭐

Nomme l’angle de sommet $M$ formé par les demi-droites $[MN)$ et $[MP)$ .
Dans l’angle $\widehat{RST}$ , donne le sommet et les deux côtés.

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Un angle se nomme avec trois lettres, en plaçant toujours le sommet au milieu. Comme le sommet est $M$ et que les côtés sont $[MN)$ et $[MP)$ , l’angle se nomme $\widehat{NMP}$ (ou $\widehat{PMN}$ , l’ordre des deux lettres extérieures n’a pas d’importance).
Dans le nom $\widehat{RST}$ , c’est la lettre du milieu, $S$ , qui désigne le sommet. Les côtés de l’angle sont donc les demi-droites reliant ce sommet aux deux autres lettres : $[SR)$ et $[ST)$ .

2. Les différents types d’angles

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Exercice 2 — ⭐⭐

Indique si chacun des angles suivants est aigu, droit, obtus ou plat.
- Un angle de $35°$ .
- Un angle de $90°$ .
- Un angle de $128°$ .
- Un angle de $180°$ .
- Un angle de $89°$ .
Calcule la mesure d’un tiers de tour, d’un sixième de tour et d’un douzième de tour. Pour chacun, donne aussi sa nature (aigu, droit, obtus ou plat).

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Pour classer un angle, on compare sa mesure aux valeurs de référence $90°$ $90°$ et $180°$ $180°$ .
- $35°$ est strictement inférieur à $90°$ : c’est un angle aigu.
- $90°$ correspond exactement à la valeur de référence : c’est un angle droit.
- $128°$ est strictement compris entre $90°$ et $180°$ : c’est un angle obtus.
- $180°$ correspond exactement à l’autre valeur de référence : c’est un angle plat.
- $89°$ est encore strictement inférieur à $90°$ , même de très peu : c’est donc un angle aigu, tout juste en dessous du seuil de l’angle droit.
Un tour complet mesure $360°$ $360°$ .
- Un tiers de tour : $360° \div 3 = 120°$ , un angle obtus ( $90° < 120° < 180°$ ).
- Un sixième de tour : $360° \div 6 = 60°$ , un angle aigu ( $60° < 90°$ ).
- Un douzième de tour : $360° \div 12 = 30°$ , un angle aigu ( $30° < 90°$ ).

3. Mesurer un angle avec un rapporteur

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Exercice 3 — ⭐⭐

En plaçant ton rapporteur, mesure l’angle $\widehat{ABC}$ ci-dessous.

L'angle

\widehat{ABC}

à mesurer avec un rapporteur.

Sans le mesurer précisément, cet angle te semble-t-il aigu, droit ou obtus ? Ta mesure à la question 1 est-elle cohérente avec cette observation ?

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Pour mesurer cet angle, on place le centre du rapporteur exactement sur le sommet $B$ , puis on aligne la ligne de référence ( $0°$ ) du rapporteur sur le côté $[BC)$ . On lit ensuite, sur la graduation, l’endroit où le second côté $[BA)$ croise le rapporteur : on obtient une mesure de $62°$ pour l’angle $\widehat{ABC}$ .
À l’œil, l’écartement entre les deux côtés de l’angle est nettement plus petit que celui d’un angle droit (qui formerait un « coin carré ») : cet angle semble donc aigu. Cette observation est cohérente avec la mesure trouvée à la question précédente, puisque $62°$ est bien inférieur à $90°$ .

4. Construire un angle de mesure donnée

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Exercice 4 — ⭐⭐⭐

Construis un angle $\widehat{xOy}$ de mesure $70°$ .
Construis un angle $\widehat{uIv}$ de mesure $145°$ .
Sans les mesurer, indique lequel de ces deux angles est le plus grand.

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On trace d’abord la demi-droite $[Ox)$ , qui sera le premier côté de l’angle. On place ensuite le centre du rapporteur sur $O$ , en alignant son $0°$ sur $[Ox)$ . On repère sur la graduation le point correspondant à $70°$ , et l’on trace la demi-droite $[Oy)$ en reliant $O$ à ce point.
On applique exactement la même méthode avec le sommet $I$ : on trace $[Iu)$ , on aligne le rapporteur, et l’on repère cette fois la graduation $145°$ pour tracer $[Iv)$ .
Comparer deux angles déjà mesurés revient simplement à comparer leurs mesures en degrés : $145° > 70°$ , donc l’angle $\widehat{uIv}$ est le plus grand des deux.

Exercice 5 — ⭐⭐⭐⭐

Un architecte dessine le plan d’une pièce en forme de triangle. Il sait que deux des trois angles du triangle mesurent $55°$ et $80°$ .

Rappelle (ou retrouve en cherchant) la propriété donnant la somme des trois angles d’un triangle.
Calcule la mesure du troisième angle du triangle.
Ce troisième angle est-il aigu, droit ou obtus ?
Construis ce triangle en traçant d’abord un côté, puis les deux angles à ses extrémités à l’aide d’un rapporteur.

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Une propriété fondamentale de la géométrie du triangle est que la somme des mesures de ses trois angles vaut toujours $180°$ , quelle que soit la forme du triangle.
Puisque les trois angles doivent totaliser $180°$ et que deux d’entre eux mesurent $55°$ et $80°$ , le troisième angle s’obtient en soustrayant ces deux mesures de $180°$ : $180 - 55 - 80 = 45°$ .
On compare cette mesure aux seuils habituels : $45° < 90°$ , donc ce troisième angle est aigu.
Pour construire le triangle, on trace d’abord un segment quelconque, qui servira de côté commun aux deux angles connus. À l’une de ses extrémités, on construit avec le rapporteur un angle de $55°$ ; à l’autre extrémité, un angle de $80°$ . Le point où se croisent les deux nouveaux côtés ainsi tracés donne le troisième sommet du triangle, dont l’angle doit alors automatiquement valoir $45°$ , conformément au calcul de la question 2.

5. Comparer deux angles sans les mesurer

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Exercice 6 — ⭐⭐⭐

Une route principale se divise en deux nouvelles routes. La première s’écarte de la route principale en formant un angle de $58°$ , et la seconde en formant un angle de $42°$ .

Sans les mesurer à nouveau, quelle route s’écarte le plus de la route principale ? Justifie en comparant les deux mesures.
Décris une méthode, autre que la mesure directe au rapporteur, permettant de comparer deux angles en les superposant.

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$58° > 42°$ : c’est la première route qui s’écarte le plus de la route principale.
On décalque le premier angle sur du papier calque, puis on superpose son sommet et un de ses côtés avec le sommet et le côté correspondant du second angle. On regarde alors de quel côté tombe le second côté de chaque angle : celui dont le second côté est le plus « ouvert » par rapport au côté commun est le plus grand — sans avoir eu besoin de mesurer quoi que ce soit.

6. La bissectrice d’un angle

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Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Trace un angle $\widehat{ABC}$ de mesure $76°$ .
Trace sa bissectrice à l’aide du rapporteur. Quelle est la mesure de chacun des deux angles obtenus ?
Sur un autre angle de ton choix, trace sa bissectrice au compas, sans utiliser le rapporteur.

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On trace la demi-droite $[BA)$ , puis on place le rapporteur avec son centre sur $B$ et son $0°$ aligné sur $[BA)$ , et l’on trace $[BC)$ à travers la graduation $76°$ .
La bissectrice partage l’angle en deux angles égaux. On calcule d’abord $76° \div 2 = 38°$ . On reporte ensuite cette mesure de $38°$ au rapporteur depuis l’un des côtés, et l’on trace la demi-droite reliant le sommet $B$ à ce nouveau point : les deux angles obtenus mesurent chacun $38°$ .
Pour tracer la bissectrice sans mesurer : depuis le sommet, on trace un arc de cercle qui coupe les deux côtés de l’angle. Depuis chacun des deux points d’intersection obtenus, on trace un arc de cercle de même rayon, assez grand pour que ces deux nouveaux arcs se croisent. La demi-droite reliant le sommet à ce point de croisement est la bissectrice cherchée.

Pour aller plus loin

Exercice 8 — ⭐⭐⭐⭐ Les aiguilles d’une horloge

Sur une horloge, les 12 heures sont réparties régulièrement autour du cadran, qui représente un tour complet.

Quel est l’angle formé entre deux heures consécutives (par exemple entre midi et 1 heure) ?
Calcule l’angle formé par les deux aiguilles à 3h00 (l’aiguille des minutes sur le 12, celle des heures sur le 3). Donne sa nature.
Même question à 6h00.
Même question à 8h00. Indice : la mesure obtenue directement peut dépasser $180°$ ; dans ce cas, l’angle « visible » entre les deux aiguilles est son complément à $360°$ .
Même question à 10h00.

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Le cadran représente un tour complet, $360°$ , réparti en $12$ heures : l’angle entre deux heures consécutives mesure $360° \div 12 = 30°$ .
À $3$ h00, les deux aiguilles sont séparées de $3$ intervalles : $30° \times 3 = 90°$ . Comme ce nombre ne dépasse pas $180°$ , l’angle est directement $90°$ : il est droit.
À $6$ h00, les deux aiguilles sont séparées de $6$ intervalles : $30° \times 6 = 180°$ . L’angle est $180°$ : il est plat (les deux aiguilles sont alignées, à l’opposé l’une de l’autre).
À $8$ h00 : $30° \times 8 = 240°$ . Comme $240° > 180°$ , l’angle « visible », le plus petit des deux, s’obtient par $360° - 240° = 120°$ : il est obtus.
À $10$ h00 : $30° \times 10 = 300°$ . Comme $300° > 180°$ , on calcule $360° - 300° = 60°$ : l’angle est aigu.