6e⏱ 4 séances

Angles

Ce que tu vas apprendre

Nommer un angle et identifier son sommet et ses côtés
Reconnaître un angle aigu, droit, obtus ou plat
Mesurer un angle à l'aide d'un rapporteur
Construire un angle de mesure donnée
Comparer deux angles sans les mesurer
Tracer la bissectrice d'un angle

Notions cléssommet, côtés d'un angleangle aigu, droit, obtus, platrapporteur, degrétour complet, 360°construction d'anglebissectrice d'un angle

1. Qu’est-ce qu’un angle ?

Définition. Un angle est la figure formée par deux demi-droites de même origine, appelée le sommet de l’angle. Les deux demi-droites sont les côtés de l’angle. On nomme un angle à l’aide de trois lettres : le sommet au milieu, entouré des deux points qui définissent les côtés, par exemple $\widehat{ABC}$ pour l’angle de sommet $B$ .

L'angle

\widehat{ABC}

a pour sommet le point

B

, et pour côtés les demi-droites

[BA)

et

[BC)

. Ici,

\widehat{ABC}

mesure

58°

.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Les différents types d’angles

Définition. Selon sa mesure, un angle porte un nom particulier :

Type d’angle	Mesure
angle aigu	strictement inférieure à $90°$
angle droit	exactement $90°$
angle obtus	strictement supérieure à $90°$ et inférieure à $180°$
angle plat	exactement $180°$

De gauche à droite : un angle aigu (

50°

), un angle droit (marqué par un petit carré), un angle obtus (

130°

) et un angle plat (

180°

, ses deux côtés forment une seule droite).

Attention. L’équerre a un angle de référence qui mesure exactement $90°$ . Pour vérifier qu’un angle est droit, on peut donc poser l’équerre dessus (sommet de l’équerre sur le sommet de l’angle, un bord aligné sur un côté) : si le second côté coïncide exactement avec le second bord de l’équerre, l’angle est droit. Le moindre écart visible montre que ce n’est pas tout à fait le cas.

Un angle et un tour complet. Faire un tour complet correspond à un angle de $360°$ . Un demi-tour mesure donc $\frac{360°}{2} = 180°$ (un angle plat), et un quart de tour mesure $\frac{360°}{4} = 90°$ (un angle droit).

Un tour complet mesure

360°

. Un demi-tour mesure

180°

, un quart de tour mesure

90°

, et un tiers de tour mesure

\frac{360°}{3} = 120°

.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Mesurer un angle avec un rapporteur

Définition. L’unité de mesure des angles est le degré, noté $°$ . On mesure un angle à l’aide d’un rapporteur.

Pour mesurer l'angle

\widehat{ABC}

, on place le centre du rapporteur sur le sommet

B

et son

0°

sur le côté

[BC)

: le second côté

[BA)

croise la graduation

50°

.

📋 Méthode — Mesurer un angle avec un rapporteur

Placer le centre du rapporteur exactement sur le sommet de l’angle.
Aligner la ligne de référence (le $0°$ ) du rapporteur avec l’un des côtés de l’angle.
Repérer où le second côté de l’angle croise la graduation du rapporteur.
Lire la mesure sur la graduation correspondante, en choisissant la bonne rangée de chiffres selon le sens de l’angle.

Attention. Un rapporteur affiche souvent deux rangées de graduations (de $0°$ à $180°$ dans un sens, et de $180°$ à $0°$ dans l’autre). Il faut bien vérifier laquelle correspond au côté aligné sur le $0°$ pour ne pas lire la mauvaise valeur.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Construire un angle de mesure donnée

Construction d'un angle

\widehat{xOy}

de

50°

: tracer

[Ox)

, aligner le rapporteur, marquer le point à

50°

, puis tracer

[Oy)

.

📋 Méthode — Construire un angle de mesure donnée

Tracer un premier côté de l’angle, une demi-droite d’origine le futur sommet.
Placer le centre du rapporteur sur le sommet, et aligner le $0°$ sur ce premier côté.
Repérer sur la graduation du rapporteur le point correspondant à la mesure voulue, et marquer un point à cet endroit.
Tracer le second côté de l’angle en reliant le sommet à ce point marqué.

Exemple. Pour construire un angle $\widehat{xOy}$ de $50°$ , on trace d’abord la demi-droite $[Ox)$ , on place le rapporteur avec son centre sur $O$ et son $0°$ aligné sur $[Ox)$ , on repère la graduation $50°$ , puis on trace $[Oy)$ à travers ce repère.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Comparer deux angles sans les mesurer

On peut parfois comparer deux angles sans avoir besoin de sortir le rapporteur : il suffit de superposer l’un sur l’autre.

En décalquant l'angle

\widehat{DEF}

et en superposant son sommet et un côté sur ceux de

\widehat{ABC}

, on voit directement que

\widehat{ABC}

est le plus ouvert des deux, sans mesurer aucun des deux angles.

📋 Méthode — Comparer deux angles par superposition

Décalquer l’un des deux angles sur du papier calque (ou du papier transparent).
Superposer le sommet du calque sur le sommet du second angle, et l’un des côtés du calque sur un côté du second angle.
Regarder de quel côté tombe le second côté du calque par rapport au second côté de l’angle : l’angle dont le côté est le plus « écarté » est le plus grand.

Attention. La mesure d’un angle ne dépend que de l’ouverture entre ses deux côtés, jamais de la longueur à laquelle on les a tracés sur le dessin : un angle dessiné avec des petits traits peut très bien être plus grand qu’un angle dessiné avec de longs traits.

→ S’entraîner : Exercice 6

6. La bissectrice d’un angle

Définition. La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure, chacun égal à la moitié de l’angle de départ.

La demi-droite

[Bd)

est la bissectrice de

\widehat{ABC}

: elle partage cet angle de

80°

en deux angles égaux de

40°

chacun (marqués du même repère).

📋 Méthode — Tracer la bissectrice avec un rapporteur

Mesurer l’angle de départ avec le rapporteur.
Diviser cette mesure par $2$ .
Depuis l’un des côtés, reporter au rapporteur cette mesure divisée par $2$ , et marquer un point.
Tracer la demi-droite reliant le sommet à ce point : c’est la bissectrice.

📋 Méthode — Tracer la bissectrice au compas (sans mesurer)

Depuis le sommet, tracer un arc de cercle qui coupe les deux côtés de l’angle.
Depuis chacun des deux points obtenus, tracer un arc de cercle de même rayon (assez grand pour que les deux arcs se croisent).
Les deux nouveaux arcs se coupent en un point.
Tracer la demi-droite reliant le sommet à ce point : c’est la bissectrice, obtenue sans avoir mesuré l’angle.

Exemple. Un angle $\widehat{ABC}$ mesure $80°$ . Sa bissectrice le partage en deux angles de $\frac{80°}{2} = 40°$ chacun.

→ S’entraîner : Exercice 7