Addition et soustraction des nombres décimaux

1. Vocabulaire de l’addition et de la soustraction

Définition. Dans une addition, les nombres que l’on additionne sont appelés les termes, et le résultat s’appelle la somme.

$$12{,}7 + 5{,}38 = 18{,}08$$

Dans une soustraction, les nombres sont aussi appelés les termes, et le résultat s’appelle la différence.

$$20{,}4 - 7{,}65 = 12{,}75$$

Sens des opérations. On utilise une addition pour réunir ou augmenter une quantité.

On utilise une soustraction pour retirer une quantité, ou pour calculer un écart entre deux quantités.

Exemple. Un melon pèse 1,2 kg et une pastèque pèse 3,45 kg.

Quel est leur poids total ? On additionne : $1{,}2 + 3{,}45$.

Une planche mesure 2,4 m ; on en coupe 0,75 m.

Quelle longueur reste-t-il ? On soustrait : $2{,}4 - 0{,}75$.

2. Poser une addition de nombres décimaux

Pour additionner deux nombres décimaux posés en colonnes, la règle la plus importante est d’aligner les virgules les unes sous les autres.

Cela garantit que l’on additionne bien des dixièmes avec des dixièmes, des centièmes avec des centièmes, etc.

Exemple. Calculons $12{,}7 + 5{,}38$.

On aligne les virgules : $12{,}70$ et $5{,}38$.

Aux centièmes : $70 + 38 = 108$ centièmes, soit $1$ unité et $8$ centièmes. On pose $8$, on retient $1$.

Aux unités : $12 + 5 + 1 = 18$.

Résultat : $12{,}70 + 5{,}38 = 18{,}08$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Calculer avec plusieurs termes

Propriété. Quand une expression ne contient que des additions et des soustractions, on calcule de gauche à droite.

Exemple. Calculons $18{,}3 - 6{,}45 + 9{,}2$.

D’abord $18{,}3 - 6{,}45 = 11{,}85$.

Puis $11{,}85 + 9{,}2 = 21{,}05$.

Propriété. Dans une somme, on peut aussi changer l’ordre des termes ou les regrouper autrement sans changer le résultat. C’est souvent utile pour calculer plus vite, en particulier de tête.

⚠️ Attention. Cette propriété n’est pas vraie pour une soustraction.

On ne peut ni changer l’ordre des termes d’une différence, ni les regrouper librement.

Exemple. Calculons astucieusement $3{,}5 + 12 + 6{,}5$.

On repère que $3{,}5$ et $6{,}5$ forment ensemble un nombre entier : on les regroupe.

$3{,}5 + 12 + 6{,}5 = (3{,}5 + 6{,}5) + 12$

$= 10 + 12 = 22$.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Poser une soustraction de nombres décimaux

La soustraction suit la même règle d’alignement des virgules.

Il faut cependant respecter l’ordre : on soustrait toujours le plus petit nombre du plus grand.

Exemple. Calculons $20{,}4 - 7{,}65$.

On aligne d’abord les virgules : $20{,}40$ et $7{,}65$.

Aux centièmes, $0 < 5$ : on emprunte une dizaine à la colonne des dixièmes.

L’emprunt se propage ainsi de colonne en colonne, jusqu’aux dixièmes.

Résultat : $20{,}40 - 7{,}65 = 12{,}75$.

⚠️ Attention. Oublier de compléter avec des zéros avant de soustraire est l’erreur la plus fréquente.

$20{,}4$ doit être écrit $20{,}40$ pour avoir autant de chiffres après la virgule que $7{,}65$, sinon les colonnes ne correspondent plus aux bons rangs.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Vérifier un résultat avec la soustraction

Propriété. La soustraction est l’opération inverse de l’addition : si $a - b = c$, alors $c + b = a$.

Cette propriété permet de vérifier facilement un calcul de soustraction en refaisant l’addition en sens inverse.

Exemple. Vérifions que $12{,}75 + 7{,}65 = 20{,}4$.

On retrouve bien le nombre de départ de la soustraction de l’exemple précédent.

→ S’entraîner : Exercice 5

6. Estimer un ordre de grandeur

Définition. Un ordre de grandeur est une valeur approximative d’un résultat, obtenue rapidement en arrondissant les nombres avant de calculer.

Il permet de vérifier qu’un résultat posé n’est pas absurde.

Exemple. Pour $12{,}7 + 5{,}38$, un ordre de grandeur rapide est $13 + 5 = 18$.

Le résultat exact trouvé plus haut, $18{,}08$, est bien cohérent avec cette estimation.

Astuce. Si le résultat exact et l’ordre de grandeur sont très éloignés, c’est souvent le signe d’une virgule mal placée.

Par exemple, un ordre de grandeur de $18$ et un résultat posé de $1{,}808$ ne sont pas cohérents.

→ S’entraîner : Exercice 6

7. Trouver un terme manquant : le complément

Dans une addition « à trou » comme $7{,}6 + \ldots = 10$, on cherche ce qu’il faut ajouter à un nombre pour atteindre un autre nombre : c’est le complément.

Propriété. Addition et soustraction sont liées : chercher le nombre manquant dans $a + \ldots = b$ revient à calculer la différence $b - a$. Autrement dit : $a + \ldots = b$ équivaut à $\ldots = b - a$.

Exemple. Pour compléter $7{,}6 + \ldots = 10$, on calcule $10 - 7{,}6 = 2{,}4$. Vérification : $7{,}6 + 2{,}4 = 10$. On dit que $2{,}4$ est le complément à $10$ de $7{,}6$.

Exemple. Complément de $3{,}7$ à $6$ : de $3{,}7$ à $4$, il manque $0{,}3$ ; de $4$ à $6$, il manque $2$. Le complément est donc $0{,}3 + 2 = 2{,}3$.

Attention. Un complément à $1$ se calcule sur toute la partie décimale : le complément à $1$ de $0{,}35$ est $0{,}65$ (car $35 + 65 = 100$ centièmes), et non $0{,}75$.

→ S’entraîner : Exercice 10