Triangles — Exercices d'application

Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut toujours $180°$. On retrouve donc le troisième angle en soustrayant les deux angles connus de $180°$.

1. $180 - 55 - 80 = 45°$.
2. $180 - 90 - 35 = 55°$.
3. Si les trois angles sont égaux, ils se partagent équitablement les $180°$ : $180 \div 3 = 60°$ chacun.

Un triangle ne peut exister que si chaque côté est strictement inférieur à la somme des deux autres (inégalité triangulaire) : sinon, les deux plus petits côtés ne peuvent pas « se rejoindre » pour former le troisième sommet.

1. On vérifie l’inégalité pour les deux plus petits côtés : $3 + 4 = 7$, ce qui est inférieur à $8$. L’inégalité triangulaire n’est pas respectée : ce triangle ne peut pas être construit.
2. On vérifie les trois inégalités possibles : $5+6=11>9$ ; $5+9=14>6$ ; $6+9=15>5$. Toutes les inégalités sont respectées : ce triangle peut être construit.
3. Pour construire ce triangle, on trace d’abord le plus grand côté, celui de $9$ cm. On pique ensuite le compas à une extrémité, réglé sur un écartement de $5$ cm, pour tracer un arc de cercle ; puis on pique le compas à l’autre extrémité, réglé sur $6$ cm, pour tracer un second arc. Le point où ces deux arcs se croisent donne le troisième sommet du triangle.

1. Il suffit de tracer deux médiatrices : leur point d’intersection est déjà le centre recherché, car les trois médiatrices d’un triangle sont toujours concourantes (elles se coupent en un même point). La troisième médiatrice passerait automatiquement par ce point, sans rien apporter de plus.
2. Non, ce n’est pas toujours le cas. Dans un triangle obtusangle (qui possède un angle obtus), le centre du cercle circonscrit se retrouve à l’extérieur du triangle, alors que dans un triangle acutangle il reste à l’intérieur, et dans un triangle rectangle il se trouve exactement au milieu de l’hypoténuse.

L’aire d’un triangle se calcule avec la formule $A = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$.

1. $A = \dfrac{10 \times 6}{2} = \dfrac{60}{2} = 30$ cm².
2. On repart de la formule avec la hauteur $h$ comme inconnue : $24 = \dfrac{8 \times h}{2}$. On multiplie les deux côtés par $2$ : $48 = 8 \times h$. On divise par $8$ : $h = 6$ cm.
3. Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit sont perpendiculaires : l’un peut donc jouer le rôle de base, l’autre celui de hauteur relative à cette base. On applique directement la formule : $A = \dfrac{5 \times 12}{2} = \dfrac{60}{2} = 30$ cm².

1. Un triangle possède trois hauteurs : chaque sommet donne naissance à une hauteur, tracée perpendiculairement au côté opposé.
2. Dire que « les hauteurs sont concourantes » signifie que ces trois droites, bien que définies indépendamment les unes des autres à partir de chaque sommet, se rencontrent toutes en un seul et même point.
3. Une hauteur relative à un côté est, par définition, une droite perpendiculaire à ce côté passant par le sommet opposé. Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit sont déjà perpendiculaires entre eux : chacun d’eux joue donc directement le rôle de hauteur relative à l’autre, sans qu’il soit nécessaire de tracer une nouvelle droite.

1. La médiane $[AM]$, en reliant le sommet $A$ au milieu $M$ du côté opposé, partage toujours le triangle en deux triangles de même aire. L’aire de $ABM$ est donc la moitié de l’aire totale : $48 \div 2 = 24$ cm².
2. Pour la même raison, l’aire de $ACM$ est également $24$ cm² (les deux moitiés créées par la médiane sont toujours égales).
3. En traçant les trois médianes d’un triangle, on le partage en $6$ petits triangles qui ont tous, de façon remarquable, exactement la même aire. Ici, cela donnerait $48 \div 6 = 8$ cm² pour chacun des six petits triangles — une propriété qui découle directement du fait que chaque médiane, prise séparément, partage déjà le triangle en deux aires égales.