Triangles

1. La somme des angles d’un triangle

Dans n’importe quel triangle, la somme des mesures de ses trois angles vaut toujours $180°$, quelle que soit sa forme. Cette propriété permet de calculer un angle manquant dès que l’on connaît les deux autres.

Exemple. Un triangle a des angles de $70°$ et $65°$. Le troisième angle mesure $180° - 70° - 65° = 45°$.

Démonstration. En traçant, par le sommet $C$, la droite parallèle au côté $[AB]$, on forme deux angles alternes-internes égaux aux angles en $A$ et en $B$ (propriété vue dans le chapitre Angles). Les trois angles ainsi rassemblés autour du point $C$ forment un angle plat, qui mesure $180°$ : c’est exactement la somme des trois angles du triangle.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Construire un triangle à partir de données partielles

Un triangle peut se construire à partir d’informations différentes : trois longueurs de côtés, deux longueurs et l’angle qu’elles forment, ou une longueur et deux angles. La méthode de construction dépend des données de départ, mais repose toujours sur le compas et le rapporteur.

Exemple. Pour construire un triangle $ABC$ connaissant $AB = 6$ cm, $AC = 4$ cm et $BC = 5$ cm : on trace $[AB]$, puis on trace un arc de cercle de centre $A$ et de rayon $4$ cm, et un arc de cercle de centre $B$ et de rayon $5$ cm. Le point $C$ est à leur intersection.

⚠️ Attention : un triangle n’existe pas toujours ! Il faut que chaque côté soit plus court que la somme des deux autres — c’est l’inégalité triangulaire. Par exemple, on ne peut pas construire de triangle avec des côtés de $2$ cm, $3$ cm et $8$ cm, car $2+3=5$ est inférieur à $8$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Médiatrices et cercle circonscrit

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment, passant par son milieu. Dans un triangle, les trois médiatrices des côtés se coupent toujours en un même point, appelé le centre du cercle circonscrit : ce point est à égale distance des trois sommets du triangle, et permet donc de tracer le cercle qui passe exactement par ces trois sommets.

Vocabulaire — trois types de triangles selon leurs angles. Un triangle est dit acutangle si ses trois angles sont aigus (strictement inférieurs à $90°$), rectangle s’il a un angle droit, et obtusangle s’il a un angle obtus (strictement supérieur à $90°$). La position du centre du cercle circonscrit dépend justement de ce type : à l’intérieur du triangle s’il est acutangle, exactement au milieu de l’hypoténuse s’il est rectangle, et à l’extérieur du triangle s’il est obtusangle.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Calculer l’aire d’un triangle

L’aire d’un triangle se calcule à partir de la longueur d’un côté, appelé la base, et de la hauteur relative à ce côté (la distance entre ce côté et le sommet opposé, mesurée perpendiculairement).

$$\text{Aire} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$$

Exemple. Un triangle a une base de $8$ cm et une hauteur relative à cette base de $5$ cm. Son aire est $\dfrac{8 \times 5}{2} = 20$ cm².

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Les hauteurs d’un triangle

Une hauteur d’un triangle est la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement). Un triangle possède toujours trois hauteurs, une par sommet, et elles sont toujours concourantes : elles se coupent en un même point.

→ S’entraîner : Exercice 5

6. Les médianes d’un triangle

Une médiane d’un triangle est la droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé. Comme les hauteurs, les trois médianes d’un triangle sont toujours concourantes. Une propriété remarquable : chaque médiane partage le triangle en deux triangles de même aire.

Exemple. Si la médiane issue de $A$ dans le triangle $ABC$ coupe $[BC]$ en son milieu $M$, alors les triangles $ABM$ et $ACM$ ont exactement la même aire, même s’ils n’ont pas la même forme.

→ S’entraîner : Exercice 6