Triangles — Entraînement type évaluation

Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut toujours $180°$.

1. $180° - 48° - 97° = 35°$.
2. $180° - 72° - 72° = 36°$.
3. Un angle droit mesure $90°$ : $180° - 90° - 34° = 56°$.
4. Non. Deux angles obtus mesurent chacun plus de $90°$, donc leur somme dépasserait déjà $180°$ à eux deux, sans même compter le troisième angle : c'est impossible dans un triangle, dont la somme totale des trois angles vaut exactement $180°$.

Un triangle ne peut exister que si chaque côté est strictement inférieur à la somme des deux autres (inégalité triangulaire).

1. On vérifie les deux plus petits côtés : $4 + 5 = 9$, ce qui est inférieur à $10$. L'inégalité triangulaire n'est pas respectée : ce triangle ne peut pas être construit.
2. On vérifie les trois inégalités : $7+8=15>10$ ; $7+10=17>8$ ; $8+10=18>7$. Toutes sont respectées : ce triangle peut être construit.
3. Le troisième côté $c$ doit être strictement inférieur à la somme des deux autres ($6+9=15$) et strictement supérieur à leur différence ($9-6=3$) : $3\,\text{cm} < c < 15\,\text{cm}$.
4. On trace le côté connu à la règle, puis, à chacune de ses deux extrémités, on trace l'angle donné à l'aide du rapporteur : le troisième sommet du triangle se trouve à l'intersection des deux demi-droites ainsi obtenues.

1. Le point d'intersection des médiatrices d'un triangle est le centre du cercle circonscrit à ce triangle : il est à égale distance des trois sommets.
2. Un angle de $92°$ est obtus (strictement supérieur à $90°$) : ce triangle est donc obtusangle, et son centre du cercle circonscrit se trouve à l'extérieur du triangle.
3. Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit se trouve exactement au milieu de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit).
4. Trois angles de $60°$ sont tous aigus (strictement inférieurs à $90°$) : ce triangle est donc acutangle, et son centre du cercle circonscrit se trouve à l'intérieur du triangle.

L'aire d'un triangle se calcule avec la formule $A = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$.

1. $A = \dfrac{14 \times 9}{2} = \dfrac{126}{2} = 63$ cm².
2. On repart de la formule avec la base $b$ comme inconnue : $40 = \dfrac{b \times 8}{2}$. On multiplie les deux côtés par $2$ : $80 = 8 \times b$. On divise par $8$ : $b = 10$ cm.
3. Les deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle sont perpendiculaires : l'un sert de base, l'autre de hauteur relative à cette base. $A = \dfrac{6 \times 7}{2} = \dfrac{42}{2} = 21$ cm².
4. L'aire du rectangle est $10 \times 6 = 60$ cm². Une diagonale le partage en deux triangles superposables (de même aire) : chacun a donc pour aire $60 \div 2 = 30$ cm². On retrouve d'ailleurs le même résultat avec la formule du triangle : $\dfrac{10 \times 6}{2} = 30$ cm².

Le triangle $ABC$ a une aire de $54$ cm², et $M$ est le milieu de $[BC]$.

1. La médiane $[AM]$ partage toujours le triangle en deux triangles de même aire : l'aire de $ABM$ est donc la moitié de l'aire totale, soit $54 \div 2 = 27$ cm².
2. Pour la même raison, l'aire de $ACM$ est également $27$ cm².
3. On applique la formule de l'aire avec $BC$ comme base : $54 = \dfrac{12 \times h}{2}$, donc $108 = 12 \times h$, d'où $h = 108 \div 12 = 9$ cm.
4. Un triangle possède trois hauteurs et trois médianes. Les trois hauteurs sont concourantes (elles se coupent toutes en un même point), et les trois médianes le sont également chacune de leur côté — mais ce n'est pas nécessairement le même point : les hauteurs se coupent en un point qui leur est propre, différent en général de celui où se coupent les médianes.