5e

Symétrie centrale — Exercices d'application

1. Symétrique d’un point

$O$ est le milieu de $[MN]$ . Que peux-tu dire de $N$ par rapport à $M$ et $O$ ?
$A$ est à $3$ cm d’un point $O$ . Où se trouve son symétrique $A'$ par rapport à $O$ ?
Le symétrique d’un point $P$ par rapport à $O$ est le point $P$ lui-même. Que peux-tu en conclure ?

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Par définition, le symétrique d’un point $M$ par rapport à un centre $O$ est le point situé sur la droite $(MO)$ , de l’autre côté de $O$ , à la même distance. Puisque $O$ est le milieu de $[MN]$ , cela correspond exactement à cette définition : $N$ est donc le symétrique de $M$ par rapport à $O$ .
Le symétrique $A'$ se construit en prolongeant la droite $(OA)$ de l’autre côté du point $O$ , à la même distance que $A$ : $A'$ se trouve donc sur la droite $(OA)$ , à $3$ cm de $O$ , mais du côté opposé à $A$ .
Si le symétrique de $P$ par rapport à $O$ est $P$ lui-même, cela signifie que la distance entre $P$ et $O$ est nulle : les deux points sont donc confondus. C’est une situation particulière : seul le centre de symétrie lui-même est son propre symétrique.

Décris les étapes pour construire l’image d’un triangle $ABC$ par symétrie centrale de centre $O$ .
Un carré $ABCD$ a pour image $A'B'C'D'$ par symétrie centrale. Quelle est la nature du quadrilatère $A'B'C'D'$ ?

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Pour construire l’image d’une figure entière, on construit d’abord l’image de chacun de ses sommets séparément : pour chaque point ( $A$ , puis $B$ , puis $C$ ), on trace la droite passant par ce point et par $O$ , et l’on reporte la même distance de l’autre côté de $O$ . On obtient ainsi $A'$ , $B'$ et $C'$ , que l’on relie ensuite dans le même ordre que les sommets de départ pour reconstituer le triangle image.
Le quadrilatère $A'B'C'D'$ est lui aussi un carré. En effet, la symétrie centrale conserve toujours les longueurs et les angles : si la figure de départ a quatre côtés égaux et quatre angles droits, son image aura exactement les mêmes propriétés.

Un triangle $ABC$ a un angle en $A$ de $50°$ . Quelle est la mesure de l’angle correspondant dans son image $A'B'C'$ ?
Un segment $[AB]$ mesure $7$ cm. Quelle est la longueur de son image $[A'B']$ ?
Pourquoi n’a-t-on pas besoin de mesurer à nouveau les angles et longueurs de l’image d’une figure ?
Un segment $[AB]$ a pour image $[A'B']$ par une symétrie centrale. Que peux-tu dire des droites $(AB)$ et $(A'B')$ ?

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La symétrie centrale conserve toujours les angles : l’angle en $A'$ dans le triangle image mesure donc exactement la même chose que l’angle de départ, soit $50°$ .
De même, la symétrie centrale conserve toujours les longueurs : le segment image $[A'B']$ mesure donc aussi $7$ cm.
On n’a pas besoin de remesurer, car la symétrie centrale est une transformation qui conserve systématiquement les longueurs et les angles, quelle que soit la figure de départ : on peut donc directement réutiliser les valeurs connues de la figure initiale pour décrire son image.
Les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont parallèles : un segment et son image par symétrie centrale sont toujours parallèles entre eux, quel que soit le centre choisi.

Un rectangle possède-t-il un centre de symétrie ? Si oui, où se situe-t-il ?
Un triangle quelconque (non particulier) possède-t-il un centre de symétrie ?
Un cercle possède-t-il un centre de symétrie ?
Un cercle de rayon $4$ cm a pour image un cercle par une symétrie centrale de centre extérieur au cercle. Quel est le rayon de ce cercle image ?

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Oui. Le rectangle possède un centre de symétrie, situé exactement au point d’intersection de ses deux diagonales — un point qui est aussi le milieu commun de ces deux diagonales, propriété caractéristique du rectangle (comme de tout parallélogramme).
Non, en général. Un triangle quelconque, sans propriété particulière, ne possède pas de centre de symétrie : il n’existe aucun point par rapport auquel le triangle serait sa propre image.
Oui. Un cercle possède un centre de symétrie, qui est tout simplement son propre centre : tout point du cercle a son symétrique par rapport au centre qui appartient lui aussi au cercle.
L’image d’un cercle par une symétrie centrale est toujours un cercle de même rayon : le cercle image a donc lui aussi un rayon de $4$ cm (seul son centre change de position, pas sa taille).