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Symétrie centrale

Ce que tu vas apprendre

Définir le demi-tour (symétrie centrale)
Construire l'image d'un point par symétrie centrale
Construire l'image d'une figure par symétrie centrale
Connaître et utiliser les propriétés de conservation de la symétrie centrale
Déterminer si une figure possède un centre de symétrie

Notions cléssymétrie centrale, centre de symétrieimage, symétriqueconservation des longueurs et des angles

1. Le demi-tour : définir la symétrie centrale

Imagine une figure dessinée sur une feuille transparente, que l’on fait pivoter d’un demi-tour ( $180°$ ) autour d’un point fixe. La figure obtenue est l’image de la figure de départ par symétrie centrale de centre ce point fixe. Le point $M'$ , symétrique d’un point $M$ par rapport à un centre $O$ , est tel que $O$ est le milieu du segment $[MM']$ .

O est le milieu de [MM'] : M' est le symétrique de M par rapport à O.

Exemple. Sur la figure ci-dessus, $O$ est équidistant de $M$ et $M'$ , et les trois points $M$ , $O$ , $M'$ sont alignés : c’est la définition même du symétrique par rapport à un centre.

📋 Méthode — Construire le symétrique d'un point

Trace la droite passant par le point $M$ et le centre $O$ .
Mesure la distance $OM$ .
Place le point $M'$ sur cette même droite, de l’autre côté de $O$ , à la même distance $OM$ .

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Construire l’image d’une figure

Pour construire l’image d’une figure entière par symétrie centrale, il suffit de construire l’image de chacun de ses points remarquables (sommets d’un polygone, extrémités d’un segment), puis de relier ces images dans le même ordre que la figure de départ.

Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par symétrie centrale de centre O.

📋 Méthode — Construire l'image d'une figure par symétrie centrale

Repère tous les sommets (ou points remarquables) de la figure de départ.
Construis l’image de chacun d’eux par rapport au centre, comme pour un seul point.
Relie les images obtenues dans le même ordre que dans la figure d’origine.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Les propriétés de conservation

La symétrie centrale conserve un certain nombre de propriétés géométriques entre une figure et son image : les longueurs, les angles, le parallélisme et les aires restent identiques. Seule la position de la figure change, pas sa forme ni sa taille.

Exemple. Si un segment $[AB]$ mesure $5$ cm, son image $[A'B']$ par symétrie centrale mesure aussi exactement $5$ cm.

Autre exemple. Si deux droites sont parallèles avant la symétrie, leurs images restent parallèles entre elles après la symétrie — c’est très utile pour construire des figures complexes sans tout mesurer à nouveau.

Une propriété encore plus utile : un segment et son image sont parallèles entre eux. Ce n’est pas seulement que deux droites parallèles restent parallèles après la symétrie : la droite $(AB)$ et la droite $(A'B')$ , image de la première, sont toujours parallèles l’une à l’autre, quel que soit le centre $O$ choisi.

(AB) et (A'B') sont parallèles : c'est la propriété qui sert à démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme.

Remarque. C’est exactement cette propriété qui justifie la construction du chapitre « Parallélogrammes » : si $O$ est le milieu commun des diagonales $[AC]$ et $[BD]$ d’un quadrilatère $ABCD$ , alors $C$ est le symétrique de $A$ et $D$ celui de $B$ par rapport à $O$ — donc $(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles, tout comme $(AD)$ et $(BC)$ : $ABCD$ est un parallélogramme.

Une dernière propriété, utile pour les cercles : l’image d’un cercle par une symétrie centrale est un cercle de même rayon, dont le centre est le symétrique du centre de départ. Un cercle de rayon $3$ cm a donc toujours pour image, par n’importe quelle symétrie centrale, un cercle de rayon $3$ cm.

📋 Méthode — Utiliser les propriétés de conservation

Repère ce que tu sais déjà sur la figure de départ (longueurs, angles, parallélisme).
Applique directement ces mêmes valeurs et propriétés à l’image, sans refaire de mesure.
Utilise cette propriété pour vérifier une construction, ou pour déduire des informations sans mesurer.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Déterminer un centre de symétrie

Certaines figures possèdent un point particulier tel que la figure est sa propre image par symétrie centrale de ce point : on dit qu’elles ont un centre de symétrie. C’est le cas, par exemple, du rectangle, du losange, du cercle, ou plus généralement de tout parallélogramme, dont le centre de symétrie est le point d’intersection des diagonales.

Le centre de symétrie d'un parallélogramme est le point d'intersection de ses diagonales.

📋 Méthode — Vérifier qu'un point est centre de symétrie

Trace, si possible, les diagonales de la figure (pour un quadrilatère).
Vérifie que leur point d’intersection est le milieu de chacune d’elles.
Si c’est le cas, ce point est le centre de symétrie de la figure.

→ S’entraîner : Exercice 4