Symétrie centrale — Entraînement type évaluation

1. Le symétrique $A'$ de $A$ par rapport à $O$ se trouve sur la droite $(OA)$, de l'autre côté de $O$, à la même distance : $A'$ est donc situé à $5$ cm de $O$, à l'opposé de $A$.
2. Puisque $P$ et $P'$ sont symétriques par rapport à $I$, le point $I$ est, par définition, le milieu du segment $[PP']$.
3. Par définition du symétrique, $OQ = OQ'$ : la distance $OQ$ vaut donc aussi $6$ cm.
4. Si $R$ est son propre symétrique par rapport à $O$, la distance $OR$ est nulle : $R$ et $O$ sont donc confondus (seul le centre de symétrie est son propre symétrique).

1. On trace la droite passant par le point et par le centre $O$, puis on reporte la même distance de l'autre côté de $O$ pour obtenir l'image.
2. On construit l'image de chacun des trois sommets $A$, $B$ et $C$ séparément (comme pour un point), en traçant à chaque fois la droite passant par le sommet et $O$ ; on relie ensuite les trois images $A'$, $B'$, $C'$ dans le même ordre pour reconstituer le triangle.
3. $E'F'G'H'$ est lui aussi un carré : la symétrie centrale conserve les longueurs et les angles, donc les quatre côtés égaux et les quatre angles droits du carré de départ se retrouvent à l'identique dans son image.
4. Relier les images dans le même ordre est indispensable pour reconstituer une figure de la même forme que la figure de départ : relier les sommets dans un ordre différent donnerait une figure qui n'a plus rien à voir (des côtés qui se croisent, par exemple).

1. La symétrie centrale conserve les angles : l'image de cet angle mesure donc aussi $72°$.
2. La symétrie centrale conserve les longueurs : l'image $[M'N']$ mesure donc aussi $9{,}5$ cm.
3. Les droites $(UV)$ et $(U'V')$ sont parallèles : un segment et son image par symétrie centrale sont toujours parallèles entre eux.
4. La symétrie centrale conserve les aires : l'image de ce triangle a donc aussi une aire de $18$ cm².

1. Oui. Un losange est un parallélogramme (ses côtés opposés sont parallèles deux à deux) : il possède donc un centre de symétrie, situé au point d'intersection de ses diagonales.
2. Non. Un triangle équilatéral, comme tout triangle, n'a pas de centre de symétrie : aucun point ne permet de le faire coïncider avec lui-même par un demi-tour.
3. Non. En tournant un demi-disque d'un demi-tour autour du milieu de son diamètre, on obtient l'autre moitié du disque complet, pas le même demi-disque : il n'a donc pas de centre de symétrie.
4. Non, en général. Un trapèze isocèle qui n'est pas un parallélogramme a des diagonales qui ne se coupent pas en leur milieu commun : il ne possède donc pas de centre de symétrie.

Le rectangle $ABCD$ a pour sommets $A(0\,;0)$, $B(8\,;0)$, $C(8\,;5)$ et $D(0\,;5)$.

1. Le centre de symétrie d'un rectangle est le point d'intersection de ses diagonales, c'est-à-dire le milieu de $[AC]$ (ou, de façon équivalente, le milieu de $[BD]$) : $O\left(\dfrac{0+8}{2}\,;\dfrac{0+5}{2}\right)$, soit $O(4\,;2{,}5)$.
2. Le symétrique de $E(2\,;1)$ par rapport à $O(4\,;2{,}5)$ a pour coordonnées $(2\times4-2\,;\ 2\times2{,}5-1) = (6\,;4)$ : $E'(6\,;4)$.
3. L'aire d'un rectangle est le produit de ses dimensions : $A = 8\times5 = 40$ cm².
4. La symétrie centrale conserve toujours les aires, quel que soit le centre choisi : l'image de ce rectangle aurait donc, elle aussi, une aire de $40$ cm².