Représentation de l'espace

1. La perspective cavalière

La perspective cavalière est une façon de représenter un solide en trois dimensions sur une feuille plane, en gardant certaines règles : les arêtes cachées sont tracées en pointillés, les faces vues de face gardent leur forme réelle, et les arêtes fuyantes sont tracées obliquement, en réduisant leur longueur (souvent de moitié).

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Le patron d’un solide

Un patron est une figure plane qui, une fois découpée et pliée le long des arêtes, permet de reconstituer exactement le solide en trois dimensions. Un même solide peut souvent avoir plusieurs patrons différents, mais tous doivent respecter les mêmes dimensions que les faces réelles du solide.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Le volume du cube et du pavé droit

Le volume d’un solide mesure l’espace qu’il occupe. Pour un pavé droit, il se calcule en multipliant ses trois dimensions : longueur, largeur et hauteur. Le cube est un cas particulier de pavé droit dont les trois dimensions sont égales.

$$V_{\text{pavé}} = L \times \ell \times h \qquad V_{\text{cube}} = c \times c \times c = c^3$$

Exemple. Un pavé droit mesure $8$ cm de long, $5$ cm de large et $4$ cm de haut. Son volume est $8 \times 5 \times 4 = 160$ cm³.

Autre exemple. Un cube a une arête de $6$ cm. Son volume est $6^3 = 216$ cm³.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Le volume d’un prisme droit

Un prisme droit a deux bases parallèles et identiques (souvent des triangles ou d’autres polygones), reliées par des faces rectangulaires. Son volume se calcule en multipliant l’aire d’une base par la hauteur du prisme (la distance entre les deux bases).

$$V_{\text{prisme}} = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur}$$

Exemple. Un prisme droit a pour base un triangle d’aire $12$ cm², et sa hauteur (la longueur du prisme) est de $10$ cm. Son volume est $12 \times 10 = 120$ cm³.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Conversions d’unités de volume et de contenance

Les unités de volume ($\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{m}^3$…) sont liées entre elles par des puissances de $1000$ (car chaque dimension se convertit par $10$, et le volume combine trois dimensions). Les unités de contenance (mL, cL, L…) sont directement liées aux unités de volume : $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$, et $1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}$.

Exemple. Convertir $2{,}5$ dm³ en cm³. Comme $1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$, on a $2{,}5 \times 1000 = 2500 \text{ cm}^3$.

Autre exemple. Une bouteille contient $1{,}5$ L d’eau. Cela représente $1{,}5$ dm³, soit $1500$ cm³ (ou $1500$ mL).

→ S’entraîner : Exercice 5

6. Aire du disque et volume du cylindre

L’aire d’un disque de rayon $r$ se calcule avec la formule $\text{Aire} = \pi \times r^2$, où $\pi$ (pi) est un nombre déjà rencontré, environ égal à $3{,}14$. Le volume d’un cylindre s’obtient ensuite comme pour un prisme, en multipliant l’aire de sa base circulaire par sa hauteur.

$$\text{Aire du disque} = \pi \times r^2 \qquad V_{\text{cylindre}} = \pi \times r^2 \times h$$

Exemple. Un disque a un rayon de $5$ cm. Son aire est $\pi \times 5^2 = \pi \times 25 \approx 78{,}5$ cm² (avec $\pi \approx 3{,}14$).

Autre exemple. Un cylindre a un rayon de base de $3$ cm et une hauteur de $10$ cm. Son volume est $\pi \times 3^2 \times 10 = \pi \times 90 \approx 282{,}6$ cm³.

La circonférence d’un cercle (la longueur de son contour) se calcule, elle, avec la formule $\text{Longueur} = 2 \times \pi \times r$ — à ne pas confondre avec l’aire du disque qu’il délimite.

Exemple. Un cercle a un rayon de $5$ cm. Sa circonférence est $2 \times \pi \times 5 \approx 31{,}4$ cm (avec $\pi \approx 3{,}14$) — un résultat différent de l’aire du disque de même rayon ($78{,}5$ cm² ci-dessus) : l’un mesure un contour, l’autre une surface.

Remarque — le lien avec le patron du cylindre. Le patron d’un cylindre (section 2) est formé de deux disques et d’un rectangle : ce rectangle s’enroule exactement autour d’un des deux disques, donc sa longueur est toujours égale à la circonférence de ce disque, $2 \times \pi \times r$ (sa largeur, elle, est égale à la hauteur $h$ du cylindre).

→ S’entraîner : Exercice 6