Règles de calcul — Exercices d'application

Sans parenthèses, on effectue toujours les multiplications et divisions avant les additions et soustractions. Les parenthèses, elles, imposent de calculer leur contenu en priorité absolue — et en cas de parenthèses imbriquées, on commence par la plus intérieure.

1. On calcule d’abord la multiplication : $4 \times 5 = 20$. On additionne ensuite : $6 + 20 = 26$.
2. On calcule d’abord la division : $18 \div 3 = 6$. On soustrait ensuite : $30 - 6 = 24$.
3. Ici, la parenthèse impose de calculer $6+4$ en premier, même si l’addition est normalement prioritaire après la multiplication : $6+4=10$, puis $10 \times 5 = 50$.
4. On calcule les deux multiplications séparément avant d’additionner : $2 \times 3 = 6$ et $4 \times 5 = 20$, puis $6 + 20 = 26$.
5. On calcule d’abord la parenthèse la plus intérieure : $9-6=3$. Il reste $4 \times (2+3)$. On calcule ensuite la parenthèse restante : $2+3=5$. Il reste $4 \times 5 = 20$.

1. « Multiplier par $3$ » se traduit par $3 \times$ le nombre, puis « ajouter $5$ » vient s’ajouter à ce produit : l’expression est $3 \times 7 + 5$. On calcule dans l’ordre des priorités (multiplication avant addition) : $3 \times 7 = 21$, puis $21 + 5 = 26$.
2. Ici, l’addition doit être effectuée avant la multiplication, ce qui inverse l’ordre naturel des priorités : il faut donc des parenthèses pour l’imposer, $(7+5) \times 3$. On calcule la parenthèse en premier : $7+5=12$, puis $12 \times 3 = 36$.
3. Les deux expressions ne donnent pas le même résultat car l’ordre des opérations change complètement le calcul : dans le premier programme, on multiplie le nombre de départ seul par $3$ avant d’ajouter $5$ ; dans le second, on ajoute d’abord $5$ au nombre de départ, puis c’est cette somme entière qui est multipliée par $3$ — ce qui revient à multiplier le $5$ par $3$ également, d’où un résultat plus grand ($36$ contre $26$).

Pour identifier la nature globale d’une expression (somme ou produit), on repère quelle est la dernière opération qui serait effectuée en respectant les priorités.

1. Dans $8 + 3 \times 6$, la multiplication ($3 \times 6$) est calculée en premier ; c’est donc l’addition qui est la dernière opération effectuée : l’expression est globalement une somme, dont les termes sont $8$ et $3 \times 6$.
2. Dans $5 \times (2+9)$, la parenthèse est calculée en premier ; c’est donc la multiplication qui est la dernière opération effectuée : l’expression est globalement un produit, dont les facteurs sont $5$ et $(2+9)$.

L’idée est de remplacer un nombre « peu pratique » par une somme (ou différence) de deux nombres ronds, puis d’appliquer la distributivité pour simplifier le calcul mental.

1. $6 \times 41 = 6 \times (40+1) = 6 \times 40 + 6 \times 1 = 240 + 6 = 246$.
2. $9 \times 102 = 9 \times (100+2) = 9 \times 100 + 9 \times 2 = 900 + 18 = 918$.
3. $5 \times 199 = 5 \times (200-1) = 5 \times 200 - 5 \times 1 = 1\,000 - 5 = 995$.
4. En posant la multiplication classique $5 \times 199$, on retrouve bien $995$, ce qui confirme le résultat obtenu par le calcul astucieux. ✓