Règles de calcul

1. Les priorités opératoires

Quand un calcul contient plusieurs opérations différentes, l’ordre dans lequel on les effectue change le résultat : il existe donc des règles précises, les priorités opératoires, que tout le monde doit respecter pour obtenir le même résultat. Sans parenthèses, on effectue toujours les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.

Exemple. Calculer $5 + 3 \times 4$. On effectue d’abord la multiplication : $3 \times 4 = 12$. Il reste $5 + 12 = 17$.

Autre exemple. Calculer $20 - 12 \div 4$. On effectue d’abord la division : $12 \div 4 = 3$. Il reste $20 - 3 = 17$.

Quand des parenthèses sont présentes, elles imposent de calculer leur contenu en priorité absolue, avant tout le reste.

Exemple avec parenthèses. Calculer $(5+3) \times 4$. On calcule d’abord la parenthèse : $5+3=8$. Il reste $8 \times 4 = 32$ — un résultat très différent du premier exemple, sans les parenthèses !

Quand des parenthèses sont imbriquées (une parenthèse à l’intérieur d’une autre), on calcule toujours la parenthèse la plus intérieure en premier, puis on remonte étape par étape vers l’extérieur.

Exemple avec parenthèses imbriquées. Calculer $2 \times (3 + (8-5))$. On calcule d’abord la parenthèse la plus intérieure : $8-5=3$. Il reste $2 \times (3+3)$. On calcule ensuite la parenthèse restante : $3+3=6$. Il reste $2 \times 6 = 12$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Traduire un programme de calcul en expression

Un programme de calcul décrit, par des phrases, une suite d’opérations à effectuer sur un nombre. Le traduire en une expression numérique permet de le calculer directement, sans refaire chaque étape séparément.

Exemple. Programme : « Choisir un nombre, lui ajouter $3$, puis multiplier le résultat par $2$. » Pour un nombre choisi égal à $5$, cela se traduit par l’expression $(5+3) \times 2$, qui vaut $16$.

Autre exemple. Programme : « Choisir un nombre, le multiplier par $4$, puis soustraire $7$ au résultat. » Pour un nombre choisi égal à $6$, l’expression est $6 \times 4 - 7$, qui vaut $17$ (pas besoin de parenthèses ici, car la multiplication est déjà prioritaire).

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Sommes, produits, termes et facteurs

Le résultat d’une addition s’appelle une somme, et chaque nombre additionné est un terme. Le résultat d’une multiplication s’appelle un produit, et chaque nombre multiplié est un facteur. Savoir nommer la structure d’une expression aide à repérer rapidement quelle priorité opératoire s’applique.

Exemple. Dans l’expression $4 + 5 \times 3$, il s’agit globalement d’une somme (l’opération la moins prioritaire, effectuée en dernier), dont les deux termes sont $4$ et $5 \times 3$ (ce second terme étant lui-même un produit de facteurs $5$ et $3$).

→ S’entraîner : Exercice 3

4. La distributivité simple

Calculer $6 \times (10+2)$ peut se faire de deux façons équivalentes : en calculant d’abord la parenthèse ($6 \times 12 = 72$), ou en distribuant la multiplication sur chaque terme de la somme ($6\times10 + 6\times2 = 60+12=72$). Cette propriété, appelée distributivité, donne toujours le même résultat par les deux méthodes — elle deviendra indispensable dès que la parenthèse contiendra une lettre, dans le chapitre sur le calcul littéral.

$$k \times (a+b) = k \times a + k \times b$$

Transformer un produit $k \times (a+b)$ en une somme $k \times a + k \times b$ s’appelle développer l’expression. L’opération inverse — regrouper une somme comme $k \times a + k \times b$ en un produit $k \times (a+b)$ — s’appelle factoriser.

Exemple. Calculer $7 \times 23$ en utilisant la distributivité : $7 \times 23 = 7 \times (20+3) = 7\times20 + 7\times3 = 140+21=161$.

Autre exemple. Calculer $4 \times 98$ astucieusement : $4 \times 98 = 4 \times (100-2) = 4\times100 - 4\times2 = 400-8=392$.

→ S’entraîner : Exercice 4