5e⏱ 2 séances

Puissances

Ce que tu vas apprendre

Connaître la notation d'un carré et d'un cube
Connaître les carrés des entiers de 0 à 12 et le cube de 10
Calculer la valeur numérique d'une expression contenant des puissances simples
Calculer la valeur d'une expression littérale contenant une puissance simple

Notions cléscarré, cube, puissancepriorité des puissances dans un calcul

1. La notation en carré et en cube

Multiplier un nombre par lui-même revient souvent dans les calculs (aire d’un carré, volume d’un cube) : on lui donne une notation plus courte. $a \times a$ s’écrit $a^2$ et se lit « $a$ au carré ». $a \times a \times a$ s’écrit $a^3$ et se lit « $a$ au cube ».

D'où viennent ces noms : l'aire d'un carré de côté a vaut a × a = a², le volume d'un cube d'arête a vaut a × a × a = a³.

Exemple. $7^2 = 7 \times 7 = 49$ , et $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$ .

Autre exemple. $1^2 = 1$ et $1^3 = 1$ : le carré et le cube de $1$ valent toujours $1$ . De même, $0^2 = 0$ : le carré de $0$ reste $0$ .

⚠️ Attention, c’est le piège le plus fréquent de ce chapitre : $a^2$ ne veut pas dire « $2 \times a$ » mais bien « $a \times a$ ». Par exemple, $5^2 = 25$ , alors que $2 \times 5 = 10$ : ce sont deux calculs complètement différents.

Il est utile de connaître par cœur les carrés des entiers de $0$ à $12$ (de $0^2=0$ à $12^2=144$ ), ainsi que $10^3 = 1000$ : ces valeurs reviennent très souvent dans les exercices de géométrie et de calcul.

📋 Méthode — Écrire et calculer un carré ou un cube

Repère si le nombre est multiplié deux fois par lui-même (carré, exposant 2) ou trois fois (cube, exposant 3).
Écris le résultat sous la forme $a^2$ ou $a^3$ .
Pour calculer sa valeur, reviens à la multiplication répétée si besoin.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Calculer avec des carrés et des cubes

Une puissance se comporte comme n’importe quel facteur dans une expression : on respecte les priorités opératoires habituelles, en calculant la puissance avant les additions, soustractions et produits qui l’entourent.

Exemple. Calculer $3^2 + 4 \times 2^3$ . On calcule d’abord les puissances : $3^2 = 9$ et $2^3 = 8$ . Il reste $9 + 4 \times 8 = 9 + 32 = 41$ .

Autre exemple. Calculer $6^2 - 2 \times 3^2$ . On calcule d’abord les puissances : $6^2 = 36$ et $3^2 = 9$ . Il reste $36 - 2 \times 9 = 36 - 18 = 18$ .

⚠️ Attention aux parenthèses. Quand une parenthèse se trouve juste avant l’exposant, l’exposant porte sur tout le contenu de la parenthèse, pas seulement sur le dernier terme : il faut donc calculer la parenthèse en premier, avant d’élever au carré ou au cube.

Exemple. $3 + 4^2$ et $(3+4)^2$ n’ont pas du tout le même résultat : $3 + 4^2 = 3 + 16 = 19$ (on calcule d’abord $4^2$ ), alors que $(3+4)^2 = 7^2 = 49$ (on calcule d’abord la parenthèse $3+4=7$ , puis on l’élève au carré).

📋 Méthode — Calculer une expression avec des puissances

Calcule d’abord la valeur de chaque puissance.
Applique ensuite les priorités opératoires habituelles (produits avant sommes).
Termine le calcul étape par étape.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Puissance dans une expression littérale

Quand une expression littérale contient une puissance, comme $a^2 + 3$ , on calcule sa valeur pour un nombre donné en remplaçant la lettre par ce nombre, puis en appliquant la même méthode que pour un calcul numérique.

Exemple. Calculer $a^2 + 3$ pour $a = 5$ . On remplace : $5^2 + 3 = 25 + 3 = 28$ .

Autre exemple. Calculer $2 \times a^2 - 1$ pour $a = 3$ . On remplace : $2 \times 3^2 - 1 = 2 \times 9 - 1 = 18 - 1 = 17$ .

📋 Méthode — Calculer une expression littérale avec une puissance

Remplace la lettre par la valeur donnée.
Calcule d’abord la puissance.
Termine le calcul en respectant les priorités opératoires.

→ S’entraîner : Exercice 3