Proportionnalité — Exercices d'application

Pour vérifier si une situation est proportionnelle, on calcule le quotient (prix ÷ quantité) pour chaque cas : si ce quotient reste toujours le même, la situation est proportionnelle.

1. On calcule les trois quotients : $4{,}5 \div 3 = 1{,}5$ ; $7{,}5 \div 5 = 1{,}5$ ; $12 \div 8 = 1{,}5$. Les trois quotients sont identiques : la situation est bien proportionnelle, avec un coefficient de $1{,}5$ €/stylo.
2. Non, cette situation n’est pas proportionnelle. À cause du coût fixe de $10$ € (présent même pour $0$ minute de communication), le quotient coût ÷ minutes ne sera jamais constant : par exemple, avec très peu de minutes, le coût sera dominé par les $10$ € fixes, et le quotient sera très grand, alors qu’il diminuera progressivement à mesure que les minutes augmentent.

Une fois le coefficient de proportionnalité connu, on l’utilise pour passer directement du nombre de stylos au prix (en multipliant), ou du prix au nombre de stylos (en divisant).

1. On multiplie le nombre de stylos par le coefficient : $10 \times 1{,}5 = 15$ €.
2. De même : $20 \times 1{,}5 = 30$ €.
3. Pour retrouver le nombre de stylos à partir d’un prix, on divise par le coefficient : $18 \div 1{,}5 = 12$ stylos.

Calculer $t\,\%$ d’une quantité revient à multiplier cette quantité par $t \div 100$, c’est-à-dire par le nombre décimal correspondant au pourcentage.

1. $20\,\%$ correspond au nombre décimal $0{,}2$ : $150 \times 0{,}2 = 30$.
2. On calcule d’abord le montant de la remise : $25\,\%$ correspond à $0{,}25$, donc $60 \times 0{,}25 = 15$ €. Le nouveau prix s’obtient en soustrayant cette remise du prix de départ : $60 - 15 = 45$ €.
3. $65\,\%$ correspond au nombre décimal $0{,}65$ : $480 \times 0{,}65 = 312$ élèves mangent à la cantine.

1. Une situation de proportionnalité se reconnaît graphiquement par des points alignés qui passent par l’origine du repère (le point $(0\,;\,0)$). Comme c’est le cas ici, on peut conclure que cette situation est bien proportionnelle.
2. Non, cette situation n’est pas proportionnelle. L’alignement des points seul ne suffit pas : il faut impérativement que la droite passe par l’origine. Une droite alignée mais décalée par rapport à l’origine correspond en général à une situation avec une partie fixe qui s’ajoute (comme un abonnement ou des frais de départ), ce qui empêche la proportionnalité.

Une échelle de $1/100$ signifie que chaque longueur sur le plan doit être multipliée par $100$ pour retrouver la longueur réelle correspondante (et inversement, on divise par $100$ pour passer du réel au plan). Agrandir ou réduire une figure revient à multiplier toutes ses dimensions par le même coefficient.

1. On multiplie la longueur sur le plan par $100$ : $4{,}5 \times 100 = 450$ cm, soit $4{,}5$ m (en divisant par $100$ pour convertir en mètres).
2. On convertit d’abord la longueur réelle en centimètres : $6$ m $= 600$ cm. On divise ensuite par l’échelle $100$ pour retrouver la longueur sur le plan : $600 \div 100 = 6$ cm.
3. On multiplie les deux dimensions par le coefficient $0{,}4$ : $5 \times 0{,}4 = 2$ cm et $8 \times 0{,}4 = 3{,}2$ cm. Le nouveau rectangle mesure $2$ cm sur $3{,}2$ cm (un coefficient inférieur à $1$ donne bien une réduction).