Proportionnalité

1. Reconnaître une situation de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe des valeurs de l’une aux valeurs de l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Dans un tableau, cela se traduit par un test simple : chaque colonne, divisée par la colonne correspondante, donne toujours le même résultat.

Exemple. Le prix de pommes dépend de leur masse : 2 kg coûtent 3 €, 4 kg coûtent 6 €, 6 kg coûtent 9 €. On vérifie : $3\div2=1{,}5$, $6\div4=1{,}5$, $9\div6=1{,}5$. Le quotient est constant : la situation est proportionnelle.

Autre exemple. Le prix d’un trajet en taxi dépend de la distance, mais comprend une prise en charge fixe de 3 € plus 1 € par km. Pour 2 km : $3+2=5$ €, soit $5\div2=2{,}5$ ; pour 4 km : $3+4=7$ €, soit $7\div4=1{,}75$. Le quotient n’est pas constant : cette situation n’est pas proportionnelle, à cause de la partie fixe.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Le coefficient de proportionnalité

Dans une situation proportionnelle, le nombre constant obtenu en divisant les valeurs d’une grandeur par les valeurs correspondantes de l’autre s’appelle le coefficient de proportionnalité. Il permet de calculer n’importe quelle valeur manquante, en multipliant simplement par ce coefficient.

Exemple. Reprenons les pommes à $1{,}5$ €/kg (le coefficient trouvé précédemment). Combien coûtent $7$ kg de pommes ? On multiplie : $7 \times 1{,}5 = 10{,}5$ €.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Les pourcentages

Un pourcentage est une façon particulière d’exprimer une proportionnalité, avec un coefficient rapporté à $100$. Calculer $t\%$ d’une quantité $N$ revient à multiplier $N$ par $\dfrac{t}{100}$.

Exemple. Un article à $40$ € bénéficie d’une remise de $15\%$. La remise vaut $40 \times \dfrac{15}{100} = 6$ €. Le nouveau prix est donc $40 - 6 = 34$ €.

Autre exemple. Dans une classe de $28$ élèves, $75\%$ pratiquent un sport en club. Cela représente $28 \times \dfrac{75}{100} = 21$ élèves.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Reconnaître la proportionnalité à partir d’un graphique

Quand on représente une situation de proportionnalité par un graphique (en plaçant les points correspondant à chaque couple de valeurs), les points obtenus sont toujours alignés avec l’origine du repère. C’est un moyen visuel rapide de reconnaître — ou d’infirmer — une proportionnalité.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Résoudre des problèmes de proportionnalité

Échelles, recettes de cuisine, conversions, vitesses : de nombreuses situations concrètes reposent sur la proportionnalité. La méthode reste toujours la même — identifier les deux grandeurs en jeu, vérifier la proportionnalité, puis utiliser un coefficient ou un produit en croix pour trouver la valeur manquante.

Exemple. Sur un plan à l’échelle $1/200$, une pièce mesure $3$ cm. Quelle est sa longueur réelle ? Une longueur de $1$ cm sur le plan correspond à $200$ cm en réalité, donc $3$ cm correspondent à $3 \times 200 = 600$ cm, soit $6$ m.

Agrandir ou réduire une figure consiste à multiplier toutes ses dimensions par un même coefficient (le coefficient d’agrandissement, ou de réduction s’il est inférieur à $1$) : c’est une application directe de la proportionnalité aux longueurs d’une figure.

Exemple. Un rectangle mesure $4$ cm sur $6$ cm. On l’agrandit avec un coefficient $2{,}5$. Les nouvelles dimensions sont $4 \times 2{,}5 = 10$ cm et $6 \times 2{,}5 = 15$ cm.

→ S’entraîner : Exercice 5