Probabilités

1. Le vocabulaire du hasard

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l’avance, comme lancer un dé ou tirer une carte. Chaque résultat possible s’appelle une issue. Un évènement est un ensemble d’une ou plusieurs issues qui nous intéressent particulièrement.

Exemple. On lance un dé à 6 faces. C’est une expérience aléatoire. Les issues possibles sont $1, 2, 3, 4, 5, 6$. L’évènement « obtenir un nombre pair » regroupe les issues $2$, $4$ et $6$.

Autre exemple. On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. L’expérience est le tirage, les issues sont les 32 cartes possibles, et l’évènement « tirer un roi » regroupe les 4 rois du jeu.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Calculer une probabilité en cas d’équiprobabilité

Quand toutes les issues d’une expérience ont la même chance de se réaliser, on dit qu’il y a équiprobabilité. Dans ce cas, la probabilité d’un évènement se calcule en divisant le nombre d’issues favorables (celles qui réalisent l’évènement) par le nombre total d’issues possibles.

$$P(\text{évènement}) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$$

Exemple. On lance un dé équilibré à 6 faces. La probabilité d’obtenir un nombre pair est $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$, car 3 issues favorables ($2$, $4$, $6$) sur 6 issues possibles au total.

Autre exemple. Dans un sac contenant 4 boules rouges et 6 boules bleues (toutes indiscernables au toucher), la probabilité de tirer une boule rouge est $\dfrac{4}{10} = 0{,}4$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Répéter une expérience et exploiter des fréquences

Quand on répète plusieurs fois la même expérience aléatoire et qu’on note les résultats obtenus, les fréquences observées se rapprochent en général de la probabilité théorique lorsque le nombre de répétitions augmente. Cela permet de vérifier expérimentalement (ou d’estimer) une probabilité.

Exemple. On lance 100 fois une pièce équilibrée et on obtient 48 fois pile. La fréquence observée est $\dfrac{48}{100} = 0{,}48$, très proche de la probabilité théorique de $0{,}5$ (une chance sur deux).

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Une échelle de probabilité

Une probabilité est toujours un nombre compris entre 0 et 1 (ou entre 0 % et 100 %). Plus ce nombre est proche de 1, plus l’évènement a de chances de se réaliser.

• Un évènement impossible (qui ne peut jamais se produire) a une probabilité égale à $0$.
• Un évènement certain (qui se produit toujours) a une probabilité égale à $1$.
• Un évènement qui a « autant de chances de se réaliser que de ne pas se réaliser » a une probabilité de $\dfrac{1}{2}$.

Une autre propriété utile : si on additionne les probabilités de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire, on obtient toujours $1$ (car l’une de ces issues se réalise forcément).

Exemple. On lance un dé équilibré à 6 faces. L’évènement « obtenir un nombre supérieur à 6 » est impossible : sa probabilité est $0$. L’évènement « obtenir un nombre inférieur ou égal à 6 » est certain : sa probabilité est $1$. Et si on additionne les probabilités des 6 issues possibles, on retrouve $\dfrac{1}{6} \times 6 = 1$.

→ S’entraîner : Exercice 4