5e

Parallélogrammes — Exercices d'application

1. Définir et construire

Qu’est-ce qui définit un parallélogramme ?
Décris la méthode pour construire le quatrième sommet d’un parallélogramme $ABCD$ , connaissant $A$ , $B$ et $C$ .

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Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux : $(AB)$ parallèle à $(DC)$ , et $(AD)$ parallèle à $(BC)$ .
Pour trouver le quatrième sommet $D$ , on utilise justement cette définition : on trace la droite parallèle à $(BC)$ passant par $A$ , puis la droite parallèle à $(AB)$ passant par $C$ . Le point $D$ se trouve exactement à l’intersection de ces deux droites, ce qui garantit que les côtés opposés du quadrilatère obtenu seront bien parallèles.

Dans un parallélogramme $ABCD$ , $AB=6$ cm et $AD=4$ cm. Donne les longueurs de $DC$ et $BC$ .
Un quadrilatère $MNPQ$ a ses diagonales $[MP]$ et $[NQ]$ qui se coupent en un point $O$ , milieu des deux diagonales. Que peux-tu conclure ?
Un quadrilatère a des côtés opposés parallèles. Est-ce suffisant pour dire qu’il s’agit d’un parallélogramme ?
Dans un parallélogramme $MNPQ$ , l’angle en $M$ mesure $65°$ . Donne la mesure des angles en $N$ , $P$ et $Q$ .
Un quadrilatère $RSTU$ est tel que $[RS]$ est parallèle à $[UT]$ , avec $RS = UT = 5$ cm. Que peux-tu en conclure ?

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Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont toujours égaux deux à deux : $DC$ , opposé à $AB$ , mesure donc aussi $6$ cm ; $BC$ , opposé à $AD$ , mesure donc aussi $4$ cm.
Lorsque les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu commun, cela suffit, d’après la réciproque de la propriété des diagonales, à affirmer que ce quadrilatère est un parallélogramme — sans qu’il soit nécessaire de vérifier directement le parallélisme des côtés.
Oui. Avoir des côtés opposés parallèles deux à deux est exactement la définition du parallélogramme : cette seule condition suffit donc à l’affirmer.
Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux et deux angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme vaut $180°$ ). L’angle en $P$ , opposé à $M$ , mesure donc aussi $65°$ . Les angles en $N$ et en $Q$ , consécutifs à $M$ , mesurent chacun $180° - 65° = 115°$ .
Le quadrilatère $RSTU$ a un couple de côtés opposés à la fois parallèles ( $[RS]$ et $[UT]$ ) et de même longueur ( $5$ cm). D’après la troisième réciproque, cela suffit à affirmer que $RSTU$ est un parallélogramme.

Un parallélogramme a un angle droit. Comment s’appelle-t-il ?
Un parallélogramme a ses quatre côtés égaux, mais aucun angle droit. Comment s’appelle-t-il ?
Un quadrilatère est à la fois un rectangle et un losange. Comment s’appelle-t-il ?

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Un parallélogramme possédant un angle droit est appelé un rectangle (et, comme dans tout parallélogramme, si un angle est droit, les trois autres le sont automatiquement aussi).
Un parallélogramme dont les quatre côtés sont égaux est appelé un losange, que ses angles soient droits ou non.
Un quadrilatère qui réunit à la fois les propriétés du rectangle (angles droits) et du losange (côtés égaux) est un carré : c’est le cas particulier le plus contraint parmi les parallélogrammes.

Une terrasse en forme de « L » se décompose en un rectangle de $8$ m sur $5$ m, et un second rectangle de $3$ m sur $2$ m accolé à l’un des côtés.

Calcule l’aire du premier rectangle.
Calcule l’aire du second rectangle.
Calcule l’aire totale de la terrasse.
Un parallélogramme voisin a une base de $6$ m et une aire de $15$ m². Calcule sa hauteur.

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L’aire d’un rectangle est le produit de ses deux dimensions : $8 \times 5 = 40$ m².
De même pour le second rectangle : $3 \times 2 = 6$ m².
L’aire totale de la terrasse en L est la somme des aires des deux rectangles qui la composent : $40 + 6 = 46$ m².
L’aire d’un parallélogramme se calcule avec $A = \text{base} \times \text{hauteur}$ . On repart de cette formule avec $A = 15$ et base $= 6$ : $15 = 6 \times h$ . On isole $h$ en divisant par $6$ : $h = 15 \div 6 = 2{,}5$ m.