Parallélogrammes — Entraînement type évaluation

1. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
2. Non. La définition exige que les deux paires de côtés opposés soient parallèles ; si une seule paire l'est, le quadrilatère n'est qu'un trapèze, pas un parallélogramme.
3. On trace la parallèle à l'un des côtés déjà tracés, passant par le sommet opposé, puis la parallèle à l'autre côté déjà tracé, passant par le troisième sommet : le quatrième sommet se trouve à l'intersection de ces deux parallèles.
4. Cette construction garantit directement les deux parallélismes exigés par la définition (chaque parallèle tracée correspond à l'un des deux côtés opposés) : le quadrilatère obtenu vérifie donc automatiquement la définition d'un parallélogramme.

1. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont toujours égaux deux à deux : $GH$, opposé à $EF$, mesure donc $8$ cm ; $HE$, opposé à $FG$, mesure donc $5$ cm.
2. D'après la réciproque de la propriété des diagonales, un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu commun est un parallélogramme.
3. Le quadrilatère $WXYZ$ a un couple de côtés opposés à la fois parallèles et de même longueur : d'après la troisième réciproque, $WXYZ$ est donc un parallélogramme.
4. Oui. Avoir ses côtés opposés de même longueur deux à deux (les deux paires) est une propriété suffisante (réciproque) pour affirmer qu'un quadrilatère est un parallélogramme.

Dans le parallélogramme $ABCD$, l'angle en $A$ mesure $118°$.

1. L'angle en $C$ est opposé à celui en $A$ : les angles opposés d'un parallélogramme sont toujours égaux, donc l'angle en $C$ mesure aussi $118°$.
2. Les angles en $B$ et en $D$ sont consécutifs à l'angle en $A$ : deux angles consécutifs sont toujours supplémentaires (leur somme vaut $180°$), donc chacun mesure $180° - 118° = 62°$.
3. La somme des quatre angles est $118° + 62° + 118° + 62° = 360°$. ✓ C'est cohérent : la somme des angles de n'importe quel quadrilatère vaut toujours $360°$.
4. Un parallélogramme dont les quatre angles sont droits est un rectangle.

1. Un losange qui a un angle droit (donc quatre angles droits, comme dans tout parallélogramme) réunit alors les propriétés du rectangle et du losange : c'est un carré.
2. Non. Un losange a ses quatre côtés égaux ; un rectangle dont deux côtés consécutifs ont des longueurs différentes n'a pas cette propriété, ce n'est donc pas un losange.
3. Oui. Un carré a par définition ses quatre côtés égaux, ce qui est exactement la définition d'un losange : un carré est donc toujours un losange (un cas particulier de losange).
4. Oui. Un carré a par définition ses quatre angles droits, ce qui est exactement la définition d'un rectangle : un carré est donc toujours un rectangle (un cas particulier de rectangle).

Le jardin est un parallélogramme de base $12$ m et de hauteur $7$ m.

1. $A = \text{base} \times \text{hauteur} = 12 \times 7 = 84$ m².
2. L'allée pavée est un rectangle d'aire $4 \times 3 = 12$ m². La pelouse correspond au reste du jardin : $84 - 12 = 72$ m².
3. Il faut $72 \times 25 = 1\,800$ g de graines, soit $1{,}8$ kg.
4. On repart de la formule $A = \text{base} \times \text{hauteur}$ avec $A = 96$ et hauteur $= 8$ : $96 = \text{base} \times 8$, donc $\text{base} = 96 \div 8 = 12$ m.