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Parallélogrammes

Ce que tu vas apprendre

Définir et construire un parallélogramme
Connaître les propriétés caractéristiques des côtés opposés, des angles et des diagonales
Reconnaître les parallélogrammes particuliers : rectangle, losange, carré
Calculer l'aire d'un parallélogramme et de figures complexes

Notions clésparallélogramme, côtés opposés, diagonalesangles opposés, angles consécutifsrectangle, losange, carréaire du parallélogramme

1. Définir et construire un parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont deux à deux parallèles. Cette seule condition suffit à garantir plusieurs autres propriétés remarquables, que l’on découvre dans les sections suivantes.

ABCD est un parallélogramme : (AB) parallèle à (DC), et (AD) parallèle à (BC).

Exemple. Pour construire un parallélogramme $ABCD$ connaissant $A$ , $B$ et $C$ , on trace la parallèle à $(AB)$ passant par $C$ , puis la parallèle à $(BC)$ passant par $A$ : leur intersection donne le quatrième sommet $D$ .

📋 Méthode — Construire un parallélogramme connaissant trois sommets

Place les trois premiers sommets connus.
Trace la parallèle à l’un des côtés déjà tracés, passant par le sommet opposé.
Trace la parallèle à l’autre côté déjà tracé, passant par le troisième sommet.
Le quatrième sommet est à l’intersection de ces deux parallèles.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Les propriétés caractéristiques

Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont toujours la même longueur, et les diagonales se coupent toujours en leur milieu commun. Chacune de ces propriétés, prise séparément, suffit à elle seule pour démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme : c’est ce qu’on appelle une réciproque.

Les diagonales d'un parallélogramme se coupent toujours en leur milieu commun.

Exemple. Dans un parallélogramme $ABCD$ , si $AB = 7$ cm, alors $DC = 7$ cm aussi (côtés opposés égaux).

Autre exemple (réciproque). Un quadrilatère $EFGH$ a des diagonales qui se coupent en leur milieu commun. Sans rien mesurer d’autre, on peut affirmer que $EFGH$ est un parallélogramme.

Les angles d’un parallélogramme obéissent eux aussi à des règles précises : les angles opposés (qui ne partagent aucun côté, comme en $A$ et en $C$ ) sont toujours égaux, et deux angles consécutifs (qui partagent un côté, comme en $A$ et en $B$ ) sont toujours supplémentaires, c’est-à-dire que leur somme vaut $180°$ .

Les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux ; deux angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme vaut 180°).

Autre exemple. Dans un parallélogramme $ABCD$ , l’angle en $A$ mesure $70°$ . L’angle en $C$ (opposé) mesure donc aussi $70°$ , tandis que les angles en $B$ et en $D$ (consécutifs à $A$ ) mesurent chacun $180° - 70° = 110°$ .

Il existe une troisième réciproque, très utile en pratique : si un quadrilatère a un couple de côtés opposés à la fois parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme — il suffit de vérifier une seule paire de côtés, au lieu des deux.

Exemple (troisième réciproque). Un quadrilatère $IJKL$ est tel que $[IJ]$ est parallèle à $[LK]$ , et $IJ = LK$ . Sans vérifier les deux autres côtés, on peut déjà affirmer que $IJKL$ est un parallélogramme.

📋 Méthode — Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Choisis l’une des propriétés suffisantes à démontrer : côtés opposés de même longueur (les deux paires), diagonales de même milieu, ou un seul couple de côtés opposés à la fois parallèles et de même longueur.
Vérifie cette propriété à partir des données de l’énoncé (mesures, parallélisme, ou milieux calculés).
Une seule de ces propriétés suffit à conclure que le quadrilatère est un parallélogramme.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Les parallélogrammes particuliers

Certains parallélogrammes possèdent des propriétés supplémentaires, ce qui en fait des cas particuliers : le rectangle (parallélogramme avec un angle droit, donc quatre angles droits), le losange (parallélogramme avec deux côtés consécutifs de même longueur, donc quatre côtés égaux), et le carré, qui cumule les deux propriétés à la fois (c’est donc à la fois un rectangle et un losange).

Trois parallélogrammes particuliers, chacun avec ses propriétés supplémentaires.

📋 Méthode — Reconnaître un parallélogramme particulier

Vérifie d’abord qu’il s’agit bien d’un parallélogramme.
Vérifie s’il possède un angle droit : c’est alors un rectangle.
Vérifie si deux côtés consécutifs ont la même longueur : c’est alors un losange.
S’il vérifie les deux conditions à la fois, c’est un carré.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Calculer l’aire d’un parallélogramme

L’aire d’un parallélogramme se calcule en multipliant la longueur d’un côté (la base) par la hauteur relative à ce côté, c’est-à-dire la distance entre ce côté et le côté opposé, mesurée perpendiculairement.

$\text{Aire} = \text{base} \times \text{hauteur}$

Exemple. Un parallélogramme a une base de $9$ cm et une hauteur relative à cette base de $4$ cm. Son aire est $9 \times 4 = 36$ cm².

Pour une figure complexe composée de plusieurs parallélogrammes (ou d’un parallélogramme et d’un triangle), on décompose la figure en formes simples, on calcule l’aire de chacune, puis on additionne (ou on soustrait, selon les cas) ces aires.

Autre exemple. Une figure en forme de « L » peut se décomposer en deux rectangles. Si le premier mesure $6 \times 3$ cm et le second $4 \times 2$ cm, l’aire totale est $18 + 8 = 26$ cm².

📋 Méthode — Calculer l'aire d'une figure complexe

Repère comment décomposer la figure en formes simples (rectangles, parallélogrammes, triangles).
Calcule l’aire de chaque forme simple séparément.
Additionne (ou soustrais, si une forme est retirée d’une autre) ces aires pour obtenir l’aire totale.

→ S’entraîner : Exercice 4