Nombres relatifs — Exercices d'application

1. L’opposé d’un nombre s’obtient en changeant son signe : l’opposé de $+8$ est $-8$ ; l’opposé de $-15$ est $+15$ ; l’opposé de $0$ est $0$ lui-même (le seul nombre qui est son propre opposé).
2. La valeur absolue d’un nombre est sa distance à $0$, toujours positive : la valeur absolue de $-9$ est $9$ ; celle de $+6$ est $6$ ; celle de $-1$ est $1$.
3. Un solde négatif sur un compte bancaire signifie que le compte est débiteur : la banque a avancé de l’argent au titulaire, qui lui doit donc $42$ €.

Sur une droite graduée, un nombre est toujours plus petit qu’un autre situé plus à droite. Un nombre positif est toujours plus grand qu’un nombre négatif, et entre deux nombres négatifs, c’est celui qui a la plus petite valeur absolue qui est le plus grand.

1. $-3 < 5$ (un négatif est toujours inférieur à un positif) ; $-8 < -2$ (entre deux négatifs, $-8$ a la plus grande valeur absolue, donc il est le plus petit) ; $-6 > -6{,}5$ (de même, $-6$ a une valeur absolue plus petite que $-6{,}5$, donc il est le plus grand).
2. On sépare d’abord les négatifs des positifs, puis on classe chaque groupe : parmi les négatifs $-7, -1, -10$, le classement croissant est $-10 < -7 < -1$ (valeur absolue décroissante) ; parmi les positifs (et le zéro) $4, 0, 3{,}5$, le classement croissant est $0 < 3{,}5 < 4$. En réunissant les deux groupes : $-10 < -7 < -1 < 0 < 3{,}5 < 4$.

Pour additionner deux nombres de même signe, on additionne leurs valeurs absolues et l’on garde le signe commun. Pour additionner deux nombres de signes différents, on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande, et l’on garde le signe du nombre ayant la plus grande valeur absolue.

1. Même signe (négatif) : on additionne les valeurs absolues, $3 + 5 = 8$, et l’on garde le signe négatif : $-8$.
2. Signes différents : on soustrait $7 - 2 = 5$, et l’on garde le signe du nombre de plus grande valeur absolue ($+7$) : $+5$.
3. Signes différents : on soustrait $9 - 4 = 5$, et l’on garde le signe du nombre de plus grande valeur absolue ($-9$) : $-5$.
4. Même signe (négatif) : $6 + 6 = 12$, on garde le signe négatif : $-12$.
5. Signes différents, valeurs absolues égales ($3$ et $3$) : le résultat est $0$, puisque ces deux nombres sont opposés l’un de l’autre.

Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé : $a - b = a + (-b)$. On transforme donc chaque soustraction en addition avant de calculer.

1. Soustraire $(+8)$ revient à additionner $(-8)$ : $(+5) - (+8) = (+5) + (-8) = -3$ (signes différents, on soustrait les valeurs absolues $8 - 5 = 3$ et l’on garde le signe du plus grand en valeur absolue).
2. Soustraire $(-9)$ revient à additionner $(+9)$ : $(-4) - (-9) = (-4) + (+9) = +5$.
3. Soustraire $(+6)$ revient à additionner $(-6)$ : $(-2) - (+6) = (-2) + (-6) = -8$ (même signe, on additionne les valeurs absolues).
4. Soustraire $(-3)$ revient à additionner $(+3)$ : $(+7) - (-3) = (+7) + (+3) = +10$.

Dans l’écriture simplifiée, on retire les parenthèses et les signes $+$ superflus : additionner un positif ou soustraire un négatif devient un simple $+$, tandis qu’additionner un négatif ou soustraire un positif devient un simple $-$. On calcule ensuite de gauche à droite.

1. $(+6) + (-2) - (+4)$ se simplifie en $6 - 2 - 4$. On calcule de gauche à droite : $6 - 2 = 4$, puis $4 - 4 = 0$.
2. $(-3) - (-5) + (-1)$ se simplifie en $-3 + 5 - 1$. On calcule de gauche à droite : $-3 + 5 = 2$, puis $2 - 1 = 1$.
3. $(+8) - (+3) - (+2)$ se simplifie en $8 - 3 - 2$. On calcule de gauche à droite : $8 - 3 = 5$, puis $5 - 2 = 3$.

Remonter (aller vers la surface) se traduit par une addition d’un nombre positif ; descendre se traduit par l’addition d’un nombre négatif. On additionne successivement chaque déplacement à la position de départ.

1. Position de départ $-18$ m, puis on remonte de $6$ m (soit $+6$), puis on redescend de $9$ m (soit $-9$) : $(-18) + (+6) + (-9)$. On calcule de gauche à droite : $-18 + 6 = -12$, puis $-12 - 9 = -21$. Le plongeur se trouve donc à $21$ m de profondeur.
2. Position de départ $-2$ m, puis il monte de $150$ m (soit $+150$), puis il redescend de $40$ m (soit $-40$) : $(-2) + (+150) + (-40)$. On calcule de gauche à droite : $-2 + 150 = 148$, puis $148 - 40 = 108$. Le randonneur se trouve donc à $108$ m d’altitude.