Nombres relatifs

1. Découvrir les nombres relatifs

Certaines grandeurs peuvent prendre des valeurs inférieures à zéro : une température peut descendre sous $0°C$, une altitude peut être sous le niveau de la mer, un compte bancaire peut être débiteur. Pour représenter cela, on utilise les nombres relatifs : chaque nombre est précédé d’un signe $+$ (positif) ou $-$ (négatif).

Deux nombres relatifs comme $+5$ et $-5$ sont dits opposés : ils ont la même distance à zéro, mais des signes contraires. Cette distance à zéro s’appelle la valeur absolue du nombre : la valeur absolue de $-5$ est $5$.

Exemple. Il fait $-3°C$ ce matin, puis la température monte de $8°C$ dans l’après-midi. Le nombre $-3$ représente la température de départ, sous zéro.

Autre exemple. Un plongeur se trouve à $-15$ m (15 mètres sous la surface de l’eau), tandis qu’un immeuble voisin culmine à $+40$ m. L’opposé de $-15$ est $+15$ : c’est la profondeur qu’il faudrait remonter pour rejoindre exactement le niveau de la mer.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Comparer et ranger des nombres relatifs

Sur une droite graduée, plus on va vers la droite, plus les nombres sont grands — cela reste vrai avec les négatifs. Un nombre négatif est toujours plus petit qu’un nombre positif. Entre deux nombres négatifs, celui qui a la plus grande valeur absolue est en réalité le plus petit.

Exemple. Comparons $-7$ et $-2$. Leurs valeurs absolues sont $7$ et $2$ : comme $7 > 2$, on a $-7 < -2$ (on le vérifie sur la droite graduée : $-7$ est plus à gauche que $-2$).

Autre exemple. Rangeons $-4$, $2$, $-9$ et $0$ du plus petit au plus grand. Les nombres négatifs ($-9$ et $-4$) sont toujours avant les nombres positifs ou nuls ($0$ et $2$). Entre $-9$ et $-4$, la valeur absolue $9$ est plus grande que $4$, donc $-9 < -4$. On obtient : $-9 < -4 < 0 < 2$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Additionner des nombres relatifs

Même signe : on additionne les valeurs absolues, et on garde le signe commun.

Signes différents : on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande, et on garde le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue.

Exemple. $(-4) + (-6) = -10$ (même signe : on additionne $4$ et $6$, on garde le signe $-$).

Autre exemple. $(-9) + (+3) = -6$ (signes différents : $9-3=6$, on garde le signe du plus grand en valeur absolue, ici $-9$).

Quand plusieurs relatifs s’additionnent à la suite, on peut les traiter dans l’ordre qu’on préfère, ou regrouper d’abord les positifs entre eux et les négatifs entre eux.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Soustraire des nombres relatifs

Soustraire un nombre relatif revient toujours à additionner son opposé. Cette règle transforme systématiquement une soustraction en addition, ce qui permet de réutiliser directement la méthode de la section précédente.

Exemple. $(-5) - (+2) = (-5) + (-2) = -7$. On a remplacé « soustraire $+2$ » par « additionner $-2$ », son opposé.

Autre exemple. $(-6) - (-2) = (-6) + (+2) = -4$. On a remplacé « soustraire $-2$ » par « additionner $+2$ », l’opposé de $-2$ — c’est là que se logent la plupart des erreurs de signe, alors prends le temps de bien réécrire chaque étape.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Parenthèses et écriture simplifiée

Certaines écritures ont besoin de parenthèses pour rester claires : $5-(-3)$ n’a pas le même sens si on enlève les parenthèses. Une fois la transformation en addition faite, on peut souvent simplifier l’écriture en enlevant les parenthèses et le signe $+$ devant chaque terme, ce qui allège les calculs à rallonge.

Règle des signes qui se suivent. Quand un signe d’opération et le signe d’un nombre se retrouvent l’un à côté de l’autre, ils se combinent toujours de la même façon :

Signes qui se suivent	Signe obtenu
$+$ suivi de $+$	$+$
$-$ suivi de $-$	$+$
$+$ suivi de $-$	$-$
$-$ suivi de $+$	$-$

Deux signes identiques donnent $+$, deux signes différents donnent $-$. C’est exactement cette règle qui permet de passer directement d’une écriture avec parenthèses à l’écriture simplifiée, sans repasser par « soustraire, c’est additionner l’opposé » à chaque fois.

Exemple. $(+7) + (-4) - (+2)$ se transforme et se simplifie en $7 - 4 - 2$, qui se calcule directement : $7-4-2=1$.

Autre exemple. $(-3) - (-8) + (-5)$ se transforme d’abord en $(-3) + (+8) + (-5)$, puis se simplifie en $-3 + 8 - 5$, qui donne $0$.

→ S’entraîner : Exercice 5

6. Résoudre des problèmes avec des relatifs

Les situations de température, d’altitude ou de solde bancaire se traduisent naturellement par des calculs de relatifs : identifier l’état de départ, les variations (positives ou négatives), puis additionner le tout donne l’état final.

Exemple. Un plongeur se trouve à $-12$ m sous la surface. Il remonte de $5$ m, puis redescend de $8$ m. À quelle profondeur se trouve-t-il ? $(-12) + (+5) + (-8) = -15$ : il est à $15$ m sous la surface.

→ S’entraîner : Exercice 6