Les fractions (suite) — Exercices d'application

Quand deux fractions ont le même dénominateur, on additionne (ou soustrait) simplement leurs numérateurs, en gardant le dénominateur inchangé.

1. $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{2 + 1}{5} = \dfrac{3}{5}$
2. $\dfrac{7}{9} - \dfrac{3}{9} = \dfrac{7 - 3}{9} = \dfrac{4}{9}$
3. On effectue les opérations de gauche à droite : $\dfrac{4}{11} + \dfrac{6}{11} - \dfrac{2}{11} = \dfrac{4 + 6 - 2}{11} = \dfrac{8}{11}$
4. $\dfrac{13}{15} - \dfrac{8}{15} = \dfrac{13 - 8}{15} = \dfrac{5}{15}$. On remarque que $5$ et $15$ ont un diviseur commun, $5$ : on simplifie donc le résultat en $\dfrac{1}{3}$.

Pour simplifier une fraction, on cherche un nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur, et l’on divise les deux par ce nombre.

1. $6$ et $9$ sont tous les deux divisibles par $3$ : $\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ (÷3). Comme $2$ et $3$ n’ont plus de diviseur commun, la fraction est irréductible.
2. $10$ et $15$ sont tous les deux divisibles par $5$ : $\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ (÷5).
3. $12$ et $20$ sont tous les deux divisibles par $4$ : $\dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$ (÷4).
4. $18$ et $24$ sont tous les deux divisibles par $6$ : $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$ (÷6).
5. $14$ et $49$ sont tous les deux divisibles par $7$ : $\dfrac{14}{49} = \dfrac{2}{7}$ (÷7).

Deux fractions $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ sont égales si et seulement si leurs produits en croix coïncident : $a \times d = b \times c$.

1. $2 \times 6 = 12$ et $3 \times 4 = 12$. Les deux produits sont égaux : les fractions sont égales.
2. $3 \times 10 = 30$ et $5 \times 6 = 30$. Les deux produits sont égaux : les fractions sont égales.
3. $7 \times 18 = 126$ et $9 \times 14 = 126$. Les deux produits sont égaux : les fractions sont égales.
4. $5 \times 15 = 75$ et $8 \times 10 = 80$. Les deux produits sont différents ($75 \neq 80$) : les fractions ne sont pas égales.

Pour produire une fraction égale, on repère par quel nombre le dénominateur (ou le numérateur) connu a été multiplié, puis on applique cette même multiplication à l’autre terme.

1. On passe de $3$ à $12$ en multipliant par $4$ ($12 \div 3 = 4$) : on applique donc la même multiplication au numérateur, $2 \times 4 = 8$. Donc $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$ (×4).
2. On passe de $4$ à $20$ en multipliant par $5$ : $3 \times 5 = 15$. Donc $\dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}$ (×5).
3. Ici c’est le numérateur qui est donné : on passe de $5$ à $10$ en multipliant par $2$, donc on applique la même multiplication au dénominateur, $6 \times 2 = 12$. Donc $\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}$ (×2).
4. On passe de $8$ à $32$ en multipliant par $4$ : $7 \times 4 = 28$. Donc $\dfrac{7}{8} = \dfrac{28}{32}$ (×4).

Lorsque deux fractions ont le même dénominateur, il suffit de comparer leurs numérateurs : le plus grand numérateur donne la plus grande fraction.

1. $3 < 5$, donc $\dfrac{3}{7} < \dfrac{5}{7}$.
2. $11 > 8$, donc $\dfrac{11}{12} > \dfrac{8}{12}$.
3. Les deux fractions sont identiques : $\dfrac{4}{9} = \dfrac{4}{9}$.
4. $15 < 18$, donc $\dfrac{15}{20} < \dfrac{18}{20}$.

Lorsque deux fractions ont le même numérateur, c’est le dénominateur le plus petit qui donne la fraction la plus grande (les parts sont plus grandes quand on partage en moins de morceaux).

1. Comme $6 < 8$, on a $\dfrac{5}{6} > \dfrac{5}{8}$.
2. Comme $10 < 12$, on a $\dfrac{7}{10} > \dfrac{7}{12}$.
3. Comme $4 < 5$, on a $\dfrac{3}{4} > \dfrac{3}{5}$.
4. Comme $11 > 9$, on a $\dfrac{9}{11} < \dfrac{9}{9}$ (d’ailleurs $\dfrac{9}{9} = 1$, puisque le numérateur est égal au dénominateur).

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ vaut $\dfrac{1}{2}$ lorsque le numérateur est exactement la moitié du dénominateur. Pour comparer sans calculatrice, il suffit donc de comparer le numérateur à la moitié du dénominateur.

1. La moitié de $7$ est $3{,}5$. Comme $3 < 3{,}5$, on a $\dfrac{3}{7} < \dfrac{1}{2}$.
2. La moitié de $8$ est $4$. Comme le numérateur vaut exactement $4$, on a $\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$.
3. La moitié de $11$ est $5{,}5$. Comme $5 < 5{,}5$, on a $\dfrac{5}{11} < \dfrac{1}{2}$.
4. La moitié de $12$ est $6$. Comme le numérateur vaut exactement $6$, on a $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$.
5. La moitié de $13$ est $6{,}5$. Comme $7 > 6{,}5$, on a $\dfrac{7}{13} > \dfrac{1}{2}$.

Lorsque les dénominateurs sont différents, on cherche d’abord un dénominateur commun (un multiple des deux dénominateurs de départ), on réécrit chaque fraction avec ce dénominateur commun, puis on additionne ou soustrait comme d’habitude.

1. Un dénominateur commun à $2$ et $3$ est $6$ : $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$ et $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$. Donc $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$.
2. Un dénominateur commun à $4$ et $6$ est $12$ : $\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{12}$. Donc $\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{11}{12}$.
3. Un dénominateur commun à $6$ et $4$ est $12$ : $\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$. Donc $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{10}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}$.
4. Un dénominateur commun à $9$ et $3$ est $9$ (puisque $3$ divise $9$) : $\dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{9}$. Donc $\dfrac{7}{9} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{9} + \dfrac{6}{9} = \dfrac{13}{9}$ (une fraction supérieure à $1$, ce qui est normal puisqu’on additionne deux quantités déjà proches de $1$ chacune).
5. Un dénominateur commun à $12$ et $8$ est $24$ : $\dfrac{11}{12} = \dfrac{22}{24}$ et $\dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{24}$. Donc $\dfrac{11}{12} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{22}{24} - \dfrac{15}{24} = \dfrac{7}{24}$.

1. On simplifie chaque fraction en divisant numérateur et dénominateur par leur diviseur commun : Alice, $\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ (÷3) ; Bob, $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ (÷2) ; Carla, $\dfrac{1}{6}$ (déjà irréductible).
2. Pour additionner les trois parts, on les met toutes au dénominateur commun $12$ : $\dfrac{3}{12}$ (Alice), $\dfrac{6}{12}$ (Bob, car $\dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{12}$), $\dfrac{2}{12}$ (Carla, car $\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{12}$). Au total : $\dfrac{3}{12} + \dfrac{6}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{11}{12}$ de la pizza a été mangée.
3. La pizza entière représente $\dfrac{12}{12}$. Ce qu’il reste s’obtient en soustrayant la part mangée : $\dfrac{12}{12} - \dfrac{11}{12} = \dfrac{1}{12}$.

1. Calculer une fraction d’une grandeur consiste à multiplier cette grandeur par la fraction : $\dfrac{1}{3} \times 120\,000 = 40\,000$ €.
2. De même : $\dfrac{1}{4} \times 120\,000 = 30\,000$ €.
3. Pour connaître la fraction allouée à l’éducation, on soustrait de la totalité (soit $\dfrac{12}{12}$, mis au même dénominateur $12$ que les fractions données) les parts déjà attribuées : les routes représentent $\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}$ et le sport $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$. Il reste donc $\dfrac{12}{12} - \dfrac{4}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12}$ pour l’éducation.
4. On applique cette fraction au budget total : $\dfrac{5}{12} \times 120\,000 = 50\,000$ €. On vérifie que les trois montants redonnent bien le budget total : $40\,000 + 30\,000 + 50\,000 = 120\,000$ €. ✓