Les fractions (suite)

Chaque section se termine par un bloc Méthode que tu peux déplier pour revoir la démarche pas à pas, et par un lien direct vers les exercices correspondants.

1. Additionner et soustraire des fractions : même dénominateur

Quand deux fractions ont le même dénominateur, les additionner ou les soustraire est simple : on additionne (ou on soustrait) les numérateurs, et le dénominateur reste inchangé.

$$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b} \qquad \dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{b} = \dfrac{a - c}{b}$$

Pourquoi ça marche ? Imagine des tiers de pizza. Si tu as 2 tiers et qu’un ami t’en donne encore 3 tiers, tu en as désormais $2 + 3 = 5$ en tout — et ce sont toujours des tiers, donc le dénominateur ne change pas.

Exemple. $\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{3 + 2}{7} = \dfrac{5}{7}$

Autre exemple. $\dfrac{11}{6} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{11 - 5}{6} = \dfrac{6}{6} = 1$

Attention à l’ordre des opérations : quand plusieurs additions et soustractions se suivent, on les effectue de gauche à droite, l’une après l’autre.

Exemple. $\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3 + 1 - 2}{5} = \dfrac{2}{5}$

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Simplifier une fraction

Une fraction n’est pas toujours écrite sous sa forme la plus simple. Par exemple, $\dfrac{6}{9}$ peut aussi s’écrire $\dfrac{2}{3}$ : c’est la même valeur, mais une écriture plus facile à lire et à manipuler.

Simplifier une fraction, c’est donc trouver une fraction qui lui est égale, mais avec des nombres plus petits. Pour cela, on divise le numérateur et le dénominateur par un même diviseur commun, autant de fois que nécessaire.

Exemple. Pour simplifier $\dfrac{12}{18}$ :

12 et 18 sont tous les deux divisibles par 2 : $\dfrac{12}{18} = \dfrac{6}{9}$

6 et 9 sont tous les deux divisibles par 3 : $\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$

2 et 3 n’ont plus aucun diviseur commun (à part 1) : $\dfrac{2}{3}$ est donc irréductible.

Si tu connais déjà le PGCD (le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur), tu peux diviser directement par lui pour simplifier en une seule étape, au lieu d’y aller petit à petit.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Fractions égales

Manger $\dfrac{2}{4}$ d’une pizza revient exactement au même que d’en manger $\dfrac{1}{2}$ : ce sont deux façons différentes d’écrire la même quantité. On dit que $\dfrac{2}{4}$ et $\dfrac{1}{2}$ sont des fractions égales.

Cela repose sur une propriété importante : on peut multiplier (ou diviser) le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre non nul, sans que cela change sa valeur.

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a \div k}{b \div k} \quad (\text{à condition que } k \neq 0)$$

Pour vérifier que deux fractions $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ sont égales, on utilise le produit en croix : elles sont égales si et seulement si $a \times d = b \times c$.

Exemple. $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{6}{8}$ sont-elles égales ? On calcule les deux produits en croix : $3 \times 8 = 24$ et $4 \times 6 = 24$. Comme les deux résultats sont identiques, les fractions sont bien égales.

→ S’entraîner : Exercices 3 et 4

4. Comparer des fractions

Quand les dénominateurs sont les mêmes, la comparaison est directe : il suffit de comparer les numérateurs. La fraction qui a le plus grand numérateur est la plus grande des deux.

Exemple. $\dfrac{2}{7} < \dfrac{5}{7}$, car $2$ est plus petit que $5$.

Quand les numérateurs sont les mêmes, il faut comparer les dénominateurs, mais en sens inverse : la fraction qui a le plus petit dénominateur est la plus grande, car ses parts sont plus grosses.

Exemple. $\dfrac{3}{5} > \dfrac{3}{7}$, car $5$ est plus petit que $7$ (des cinquièmes sont plus gros que des septièmes).

Une astuce très utile — comparer à $\dfrac{1}{2}$ : on compare simplement le numérateur à la moitié du dénominateur.

Exemple. Pour $\dfrac{3}{7}$ : la moitié de 7 vaut 3,5. Comme $3$ est plus petit que $3{,}5$, on peut affirmer que $\dfrac{3}{7} < \dfrac{1}{2}$, sans avoir besoin d’aucun autre calcul.

Dans le cas général (ni le numérateur ni le dénominateur ne sont identiques), on ramène d’abord les deux fractions au même dénominateur en les réécrivant sous une forme égale, puis on compare les numérateurs comme dans le premier cas.

→ S’entraîner : Exercices 5, 6 et 7

5. Additionner et soustraire des fractions : dénominateurs différents

On ne peut pas additionner directement des tiers et des quarts, tout comme on n’additionne pas des mètres et des centimètres sans les convertir d’abord. Il faut transformer chaque fraction en une fraction qui lui est égale, de manière à obtenir le même dénominateur pour les deux — puis on applique la règle simple vue à la section 1.

Exemple. Calculer $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$.

On choisit un dénominateur commun : ici, $3 \times 4 = 12$ convient bien.

$\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$

$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}$

⚠️ Attention, c’est l’erreur la plus fréquente sur ce chapitre : il ne faut jamais additionner les dénominateurs entre eux. $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$ n’est pas égal à $\dfrac{1}{7}$.

→ S’entraîner : Exercice 8

6. Résoudre des problèmes avec des fractions

Les fractions ne servent pas seulement à faire des calculs abstraits : elles permettent de modéliser des situations bien réelles, comme des partages, des quantités, des grandeurs ou des budgets.

Exemple. Un pichet contient $\dfrac{5}{6}$ litre de jus d’orange. On en verse $\dfrac{1}{3}$ litre dans un verre. Quelle quantité de jus reste-t-il dans le pichet ?

$\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ litre.

→ S’entraîner : Exercices 9 et 10