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Les fractions (suite) — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille, une calculatrice interdite. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

Exercice 1 (4 points) — Additionner et soustraire (même dénominateur)

Calcule $\dfrac{5}{9} + \dfrac{2}{9}$ . (1 point)
Calcule $\dfrac{13}{15} - \dfrac{7}{15}$ . (1 point)
Calcule $\dfrac{8}{11} + \dfrac{3}{11} - \dfrac{5}{11}$ . (2 points)

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Même dénominateur : on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur. $\dfrac{5}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{5 + 2}{9} = \dfrac{7}{9}$ .
$\dfrac{13}{15} - \dfrac{7}{15} = \dfrac{13 - 7}{15} = \dfrac{6}{15}$ . Comme $6$ et $15$ ont un diviseur commun, $3$ , on simplifie : $\dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$ .
On effectue les opérations de gauche à droite : $\dfrac{8}{11} + \dfrac{3}{11} - \dfrac{5}{11} = \dfrac{8 + 3 - 5}{11} = \dfrac{6}{11}$ .

Exercice 2 (3 points) — Simplifier une fraction

Simplifie les fractions suivantes jusqu'à obtenir une fraction irréductible :

$\dfrac{8}{12}$ (1 point)
$\dfrac{15}{25}$ (1 point)
$\dfrac{21}{35}$ (1 point)

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$8$ et $12$ sont tous les deux divisibles par $4$ : $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ (÷4). $2$ et $3$ n'ont plus de diviseur commun : la fraction est irréductible.
$15$ et $25$ sont tous les deux divisibles par $5$ : $\dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}$ (÷5).
$21$ et $35$ sont tous les deux divisibles par $7$ : $\dfrac{21}{35} = \dfrac{3}{5}$ (÷7).

Exercice 3 (3 points) — Fractions égales et produit en croix

Indique si $\dfrac{3}{7}$ et $\dfrac{6}{14}$ sont égales, en justifiant avec le produit en croix. (2 points)
Complète : $\dfrac{2}{5} = \dfrac{?}{20}$ . (1 point)

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On calcule les deux produits en croix : $3 \times 14 = 42$ et $7 \times 6 = 42$ . Les deux résultats sont identiques : les fractions $\dfrac{3}{7}$ et $\dfrac{6}{14}$ sont bien égales.
On passe de $5$ à $20$ en multipliant par $4$ ( $20 \div 5 = 4$ ) : on applique la même multiplication au numérateur, $2 \times 4 = 8$ . Donc $\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}$ (×4).

Exercice 4 (4 points) — Comparer des fractions

Complète avec $<$ , $>$ ou $=$ (justifie brièvement quand ce n'est pas évident) :

$\dfrac{4}{9}$ ... $\dfrac{6}{9}$ (1 point)
$\dfrac{5}{8}$ ... $\dfrac{5}{12}$ (1 point)
$\dfrac{7}{15}$ ... $\dfrac{1}{2}$ (1 point)
$\dfrac{9}{10}$ ... $\dfrac{17}{20}$ (1 point)

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Même dénominateur $9$ : on compare les numérateurs. Comme $4 < 6$ , on a $\dfrac{4}{9} < \dfrac{6}{9}$ .
Même numérateur $5$ : le plus petit dénominateur donne la plus grande fraction. Comme $8 < 12$ , on a $\dfrac{5}{8} > \dfrac{5}{12}$ .
La moitié de $15$ est $7{,}5$ . Comme $7 < 7{,}5$ , on a $\dfrac{7}{15} < \dfrac{1}{2}$ .
On ramène au même dénominateur $20$ : $\dfrac{9}{10} = \dfrac{18}{20}$ . On compare alors $\dfrac{18}{20}$ et $\dfrac{17}{20}$ : comme $18 > 17$ , on a $\dfrac{9}{10} > \dfrac{17}{20}$ .

Exercice 5 (6 points) — Additionner et soustraire (dénominateurs différents)

Calcule $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}$ et simplifie si possible. (2 points)
Calcule $\dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{3}$ et simplifie si possible. (2 points)
Un gâteau pèse $\dfrac{7}{10}$ kg. On en enlève un morceau de $\dfrac{1}{4}$ kg. Quel est le poids restant du gâteau ? (2 points)

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Un dénominateur commun à $4$ et $6$ est $12$ : $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$ et $\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{12}$ . Donc $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}$ , déjà irréductible.
Un dénominateur commun à $8$ et $3$ est $24$ : $\dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{24}$ et $\dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{24}$ . Donc $\dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{15}{24} - \dfrac{8}{24} = \dfrac{7}{24}$ , déjà irréductible.
Un dénominateur commun à $10$ et $4$ est $20$ : $\dfrac{7}{10} = \dfrac{14}{20}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{20}$ . Le poids restant est donc $\dfrac{14}{20} - \dfrac{5}{20} = \dfrac{9}{20}$ kg.