Divisibilité — Exercices d'application

1. Un nombre est multiple de $7$ s’il peut s’écrire comme $7$ multiplié par un entier. Ici, $7 \times 8 = 56$ : $56$ est donc bien un multiple de $7$.
2. Un nombre est diviseur d’un autre si la division tombe juste, sans reste. Ici, $63 \div 9 = 7$, une division exacte : $9$ est donc bien un diviseur de $63$.
3. Pour trouver tous les diviseurs de $24$, on cherche tous les nombres qui le divisent exactement, en testant méthodiquement à partir de $1$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$.
4. De même pour $36$ : $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$.

Pour chaque division, on cherche le plus grand multiple du diviseur qui ne dépasse pas le dividende : ce multiple donne le quotient, et la différence donne le reste.

1. Le plus grand multiple de $6$ qui ne dépasse pas $53$ est $6 \times 8 = 48$. Le quotient est $8$, le reste est $53 - 48 = 5$. Vérification : $53 = 6 \times 8 + 5$. ✓
2. Le plus grand multiple de $8$ qui ne dépasse pas $91$ est $8 \times 11 = 88$. Le quotient est $11$, le reste est $91 - 88 = 3$. Vérification : $91 = 8 \times 11 + 3$. ✓
3. Le plus grand multiple de $11$ qui ne dépasse pas $124$ est $11 \times 11 = 121$. Le quotient est $11$, le reste est $124 - 121 = 3$. Vérification : $124 = 11 \times 11 + 3$. ✓
4. Le plus grand multiple de $17$ qui ne dépasse pas $200$ est $17 \times 11 = 187$. Le quotient est $11$, le reste est $200 - 187 = 13$. Vérification : $200 = 17 \times 11 + 13$. ✓

Pour diviser par un nombre décimal, on multiplie le dividende et le diviseur par une même puissance de $10$ (choisie pour que le diviseur devienne un nombre entier) : le quotient reste inchangé, mais le calcul devient plus simple.

1. On multiplie les deux nombres par $10$ pour que $1{,}2$ devienne $12$ : $8{,}4 \div 1{,}2$ devient $84 \div 12 = 7$.
2. On multiplie par $10$ pour que $0{,}5$ devienne $5$ : $27{,}5 \div 0{,}5$ devient $275 \div 5 = 55$.
3. On multiplie par $100$ pour que $1{,}08$ devienne $108$ : $12{,}96 \div 1{,}08$ devient $1296 \div 108 = 12$.
4. On multiplie par $100$ pour que $0{,}02$ devienne $2$ : $5{,}4 \div 0{,}02$ devient $540 \div 2 = 270$.

On applique à chaque nombre les critères habituels : dernier chiffre pour $2$, $5$, $10$ ; deux derniers chiffres pour $4$ ; somme des chiffres pour $3$ et $9$.

1. Pour $420$ : le chiffre des unités est $0$, pair et nul, donc $420$ est divisible par $2$, $5$ et $10$. Les deux derniers chiffres, $20$, sont divisibles par $4$, donc $420$ l’est aussi. La somme des chiffres, $4+2+0=6$, est divisible par $3$ mais pas par $9$ : $420$ est donc divisible par $3$, mais pas par $9$.
2. Pour $135$ : le chiffre des unités est $5$, donc $135$ est divisible par $5$, mais impair, donc pas par $2$, $4$ ni $10$. La somme des chiffres, $1+3+5=9$, est divisible à la fois par $3$ et par $9$ : $135$ est donc divisible par $3$ et par $9$.
3. Pour $728$ : le chiffre des unités est $8$, pair, donc divisible par $2$. Les deux derniers chiffres, $28$, sont divisibles par $4$, donc $728$ l’est aussi. La somme des chiffres, $7+2+8=17$, n’est divisible ni par $3$ ni par $9$ ; comme $728$ ne se termine ni par $0$ ni par $5$, il n’est pas non plus divisible par $5$ ni par $10$.
4. Pour $6\,381$ : la somme des chiffres, $6+3+8+1=18$, est divisible à la fois par $3$ et par $9$. Comme $6\,381$ est impair (il se termine par $1$), il n’est divisible ni par $2$, ni par $4$, ni par $5$, ni par $10$.

1. On cherche le plus grand multiple de $9$ qui ne dépasse pas $158$ : $9 \times 17 = 153$. On peut donc former $17$ équipes complètes de $9$ joueurs.
2. Le reste de la division correspond aux joueurs qui n’ont pas pu intégrer une équipe complète : $158 - 153 = 5$ joueurs restent donc sans équipe.
3. Pour compléter une équipe supplémentaire de $9$ joueurs, il manque $9 - 5 = 4$ adhérents.

1. Pour qu’un nombre de bouquets convienne, il doit diviser exactement à la fois $84$ et $126$ (sans quoi il resterait des fleurs seules). Essayons $6$ bouquets : $84 \div 6 = 14$ (exact) et $126 \div 6 = 21$ (exact) : $6$ bouquets conviennent donc bien.
2. Pour utiliser toutes les fleurs en formant le plus grand nombre de bouquets identiques possible, il faut chercher le plus grand diviseur commun de $84$ et $126$. En listant les diviseurs de $84$ ($1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84$) et ceux de $126$ ($1,2,3,6,7,9,14,18,21,42,63,126$), on repère le plus grand nombre commun aux deux listes : $42$.
3. Avec $42$ bouquets, chaque bouquet contient $84 \div 42 = 2$ roses et $126 \div 42 = 3$ tulipes.