Divisibilité — Entraînement type évaluation

1. Un nombre est multiple de $8$ s'il peut s'écrire comme $8$ multiplié par un entier. Ici, $8 \times 9 = 72$ : $72$ est donc bien un multiple de $8$.
2. Un nombre est diviseur d'un autre si la division tombe juste, sans reste. Ici, $84 \div 6 = 14$, une division exacte : $6$ est donc bien un diviseur de $84$.
3. Pour trouver tous les diviseurs de $28$, on teste méthodiquement à partir de $1$ : $1, 2, 4, 7, 14, 28$.

Pour chaque division, on cherche le plus grand multiple du diviseur qui ne dépasse pas le dividende : ce multiple donne le quotient, et la différence donne le reste.

1. Le plus grand multiple de $5$ qui ne dépasse pas $67$ est $5 \times 13 = 65$. Le quotient est $13$, le reste est $67 - 65 = 2$. Vérification : $67 = 5 \times 13 + 2$. ✓
2. Le plus grand multiple de $12$ qui ne dépasse pas $143$ est $12 \times 11 = 132$. Le quotient est $11$, le reste est $143 - 132 = 11$. Vérification : $143 = 12 \times 11 + 11$. ✓

Pour diviser par un nombre décimal, on multiplie le dividende et le diviseur par une même puissance de $10$ (choisie pour que le diviseur devienne un nombre entier) : le quotient reste inchangé, mais le calcul devient plus simple.

1. On multiplie les deux nombres par $10$ pour que $1{,}2$ devienne $12$ : $9{,}6 \div 1{,}2$ devient $96 \div 12 = 8$.
2. On multiplie par $10$ pour que $0{,}5$ devienne $5$ : $16{,}5 \div 0{,}5$ devient $165 \div 5 = 33$.
3. On multiplie par $100$ pour que $0{,}03$ devienne $3$ : $7{,}2 \div 0{,}03$ devient $720 \div 3 = 240$.

On applique à chaque nombre les critères habituels : dernier chiffre pour $2$, $5$, $10$ ; deux derniers chiffres pour $4$ ; somme des chiffres pour $3$ et $9$.

1. Pour $540$ : le chiffre des unités est $0$, donc $540$ est divisible par $2$, $5$ et $10$. Les deux derniers chiffres, $40$, sont divisibles par $4$, donc $540$ l'est aussi. La somme des chiffres, $5+4+0=9$, est divisible à la fois par $3$ et par $9$ : $540$ est donc divisible par $2$, $3$, $4$, $5$, $9$ et $10$.
2. Pour $2\,853$ : le chiffre des unités est $3$, impair, donc $2\,853$ n'est divisible ni par $2$, ni par $4$, ni par $5$, ni par $10$. La somme des chiffres, $2+8+5+3=18$, est divisible à la fois par $3$ et par $9$ : $2\,853$ est donc divisible par $3$ et par $9$.

1. Pour qu'un nombre de plateaux convienne, il doit diviser exactement à la fois $96$ et $144$ (sans quoi il resterait des verrines seules). Essayons $12$ plateaux : $96 \div 12 = 8$ (exact) et $144 \div 12 = 12$ (exact) : $12$ plateaux conviennent donc bien.
2. Pour utiliser toutes les verrines en formant le plus grand nombre de plateaux identiques possible, il faut chercher le plus grand diviseur commun de $96$ et $144$. En listant les diviseurs de $96$ ($1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96$) et ceux de $144$ ($1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24,36,48,72,144$), on repère le plus grand nombre commun aux deux listes : $48$.
3. Avec $48$ plateaux, chaque plateau contient $96 \div 48 = 2$ verrines salées et $144 \div 48 = 3$ verrines sucrées.