5e⏱ 3 à 4 séances

Divisibilité

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître un multiple ou un diviseur d'un nombre
Effectuer et utiliser une division euclidienne (quotient et reste)
Diviser par un nombre décimal
Connaître et appliquer les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10
Résoudre des problèmes faisant intervenir multiples, diviseurs, quotient et reste

Notions clésmultiple, diviseurdivision euclidienne, quotient, restecritères de divisibilité

Chaque section se termine par un bloc Méthode que tu peux déplier pour revoir la démarche pas à pas, et par un lien direct vers les exercices correspondants.

1. Multiples et diviseurs d’un nombre

Quand un nombre entier peut être obtenu en multipliant un autre nombre entier, on parle de multiple. Par exemple, $15$ est un multiple de $3$ , car $3 \times 5 = 15$ . Dans l’autre sens, on dit que $3$ est un diviseur de $15$ : il « rentre exactement » dans $15$ , sans reste.

Multiple et diviseur sont donc deux façons de regarder la même relation entre deux nombres, simplement dans un sens différent : $15$ est un multiple de $3$ , et $3$ est un diviseur de $15$ .

Exemple. $28 = 4 \times 7$ . On peut donc dire que $28$ est un multiple de $4$ et de $7$ , et que $4$ et $7$ sont chacun des diviseurs de $28$ .

Un nombre possède en général plusieurs diviseurs. Pour tous les trouver, on peut tester chaque nombre entier, du plus petit au plus grand, et vérifier s’il divise exactement le nombre étudié.

Exemple. Cherchons tous les diviseurs de $18$ . On teste : $18 \div 1 = 18$ (exact), $18 \div 2 = 9$ (exact), $18 \div 3 = 6$ (exact), $18 \div 4$ n’est pas exact, $18 \div 5$ n’est pas exact, $18 \div 6 = 3$ (exact, déjà trouvé dans l’autre sens). Les diviseurs de $18$ sont donc $1$ , $2$ , $3$ , $6$ , $9$ et $18$ .

📋 Méthode — Trouver tous les diviseurs d'un nombre

Teste la division du nombre par $1$ , puis par $2$ , puis par $3$ , et ainsi de suite.
Note chaque diviseur qui donne un quotient exact (reste nul).
Arrête-toi quand les diviseurs commencent à se répéter (quand le diviseur testé dépasse la racine carrée approximative du nombre, les couples de diviseurs se croisent).

→ S’entraîner : Exercice 1

2. La division euclidienne : quotient et reste

Quand un nombre entier ne se divise pas exactement par un autre, la division laisse un reste. C’est la division euclidienne : on cherche combien de fois un nombre (le diviseur) rentre entièrement dans un autre (le dividende), et ce qu’il reste ensuite.

On écrit le résultat sous la forme : $\text{dividende} = \text{diviseur} \times \text{quotient} + \text{reste}$ , avec un reste toujours strictement plus petit que le diviseur.

Exemple. Divisons $47$ par $6$ . On cherche combien de fois $6$ rentre dans $47$ : $6 \times 7 = 42$ , et $6 \times 8 = 48$ dépasse $47$ . Le quotient est donc $7$ , et le reste est $47 - 42 = 5$ . On vérifie : $47 = 6 \times 7 + 5$ , et $5$ est bien plus petit que $6$ .

Quand le reste vaut $0$ , la division est exacte : c’est le cas particulier où le diviseur est aussi un diviseur du dividende, au sens de la section précédente.

📋 Méthode — Poser une division euclidienne

Cherche le plus grand multiple du diviseur qui ne dépasse pas le dividende : c’est ta piste pour le quotient.
Calcule ce multiple, puis soustrais-le au dividende pour obtenir le reste.
Vérifie que le reste est bien strictement inférieur au diviseur ; sinon, augmente le quotient d’une unité et recommence.
Vérifie ton résultat avec l’égalité $\text{dividende} = \text{diviseur} \times \text{quotient} + \text{reste}$ .

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Diviser par un nombre décimal

Diviser par un nombre à virgule peut sembler délicat, mais une astuce simple permet de s’y ramener à une division classique : on multiplie le diviseur et le dividende par une même puissance de $10$ , de façon à rendre le diviseur entier. Cette transformation ne change pas le résultat de la division, exactement comme multiplier le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre ne change pas sa valeur.

Exemple. Calculer $15{,}6 \div 1{,}2$ . Le diviseur $1{,}2$ a un chiffre après la virgule : on multiplie donc le dividende et le diviseur par $10$ . On obtient $156 \div 12$ , une division bien plus facile à poser, qui donne $13$ .

📋 Méthode — Diviser par un nombre décimal

Repère le nombre de chiffres après la virgule du diviseur.
Multiplie le diviseur et le dividende par $10$ , $100$ ou $1000$ (selon le nombre de chiffres après la virgule), pour que le diviseur devienne un nombre entier.
Effectue la division comme une division classique entre entiers.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Les critères de divisibilité

Plutôt que de poser une division à chaque fois, il existe des règles rapides — les critères de divisibilité — pour savoir, en un coup d’œil sur les chiffres d’un nombre, s’il est divisible par certains nombres usuels.

Divisible par…	Condition sur le nombre	Exemple
2	Le chiffre des unités est $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$ (nombre pair)	$348$ : le chiffre des unités est $8$ → divisible par 2
5	Le chiffre des unités est $0$ ou $5$	$215$ : le chiffre des unités est $5$ → divisible par 5
10	Le chiffre des unités est $0$	$470$ → divisible par 10
3	La somme des chiffres est divisible par $3$	$234$ : $2+3+4=9$ , divisible par 3 → $234$ est divisible par 3
9	La somme des chiffres est divisible par $9$	$612$ : $6+1+2=9$ , divisible par 9 → $612$ est divisible par 9
4	Le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par $4$	$316$ : les deux derniers chiffres forment $16$ , divisible par 4 → $316$ est divisible par 4

Ces critères sont particulièrement utiles pour vérifier rapidement un résultat, ou pour chercher des diviseurs sans tout tester un par un.

Exemple. Le nombre $549$ est-il divisible par $3$ ? On additionne ses chiffres : $5+4+9=18$ . Comme $18$ est divisible par $3$ (et même par $9$ ), $549$ est divisible par $3$ — et aussi par $9$ , puisque $18$ est également divisible par $9$ .

📋 Méthode — Appliquer un critère de divisibilité

Identifie par quel nombre tu veux tester la divisibilité (2, 3, 4, 5, 9 ou 10).
Applique la condition correspondante du tableau (chiffre des unités, ou somme des chiffres).
Si la condition est vérifiée, le nombre est divisible ; sinon, il ne l’est pas.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Résoudre des problèmes avec multiples, diviseurs, quotient et reste

Les notions de ce chapitre permettent de résoudre des situations concrètes de partage, de regroupement ou de répartition. La clé est souvent de bien identifier si l’on cherche un multiple, un diviseur, ou le quotient et le reste d’une division.

Exemple. Un club de sport compte $132$ adhérents. On veut former des équipes de $8$ joueurs. Combien d’équipes complètes peut-on former, et combien de joueurs resteront sans équipe ? On effectue la division euclidienne de $132$ par $8$ : $8 \times 16 = 128$ , et $132 - 128 = 4$ . On peut donc former $16$ équipes complètes, et il restera $4$ joueurs.

📋 Méthode — Modéliser un problème avec la divisibilité

Repère si la situation demande un multiple, un diviseur, ou un quotient et un reste.
Traduis la situation par un calcul (division euclidienne le plus souvent).
Effectue le calcul.
Interprète le résultat dans le contexte de l’énoncé (que représentent le quotient et le reste ?).

→ S’entraîner : Exercices 5 et 6