Calcul littéral et équations — Exercices d'application

1. On remplace $n$ par $5$ dans la formule : $P = 8 \times 5 = 40$ €.
2. On remplace $L$ par $9$ et $\ell$ par $4$ : $P = 2 \times (9+4) = 2 \times 13 = 26$ cm.
3. L’aire d’un carré est le produit de son côté par lui-même : $A = c \times c = c^2$. En remplaçant $c$ par $6$ : $A = 6^2 = 36$ cm².

Pour tester une égalité, on remplace la lettre par la valeur proposée dans les deux membres, puis on vérifie si l’on obtient bien le même résultat des deux côtés.

1. En remplaçant $x$ par $4$ : $3 \times 4 - 2 = 12 - 2 = 10$. L’égalité est donc vraie pour $x = 4$.
2. En remplaçant $x$ par $6$ : $2 \times 6 + 5 = 12 + 5 = 17$. L’égalité est donc vraie pour $x = 6$.
3. Un contre-exemple est une valeur pour laquelle l’égalité est fausse. Essayons $x = 2$ : à gauche, $5 \times 2 = 10$ ; à droite, $2 + 12 = 14$. Comme $10 \neq 14$, $x = 2$ est bien un contre-exemple — l’égalité n’est en réalité vraie que pour $x = 3$ (on peut vérifier : $5 \times 3 = 15$ et $3 + 12 = 15$).

On applique la distributivité en multipliant le facteur extérieur par chacun des deux termes à l’intérieur de la parenthèse. Factoriser, c’est l’opération inverse : repérer le facteur commun à tous les termes.

1. $5(x+2) = 5 \times x + 5 \times 2 = 5x + 10$.
2. $3(x-4) = 3 \times x - 3 \times 4 = 3x - 12$.
3. $7(2x+1) = 7 \times 2x + 7 \times 1 = 14x + 7$.
4. $4(x-6) = 4 \times x - 4 \times 6 = 4x - 24$.
5. Le facteur commun à $8x$ et $20$ est $4$, car $8x = 4 \times 2x$ et $20 = 4 \times 5$ : $8x + 20 = 4(2x+5)$.

Réduire une expression consiste à regrouper séparément les termes en $x$ et les nombres seuls.

1. $4x + 3x = (4+3)x = 7x$.
2. On regroupe les termes en $x$ : $9x - 2x = 7x$. Le nombre seul, $5$, reste tel quel : $7x + 5$.
3. On regroupe les nombres seuls : $6 + 2 = 8$. On regroupe les termes en $x$ : $3x + x = 4x$. Résultat : $4x + 8$.
4. On regroupe les termes en $x$ : $10x - 4x = 6x$. Le nombre seul, $-1$, reste tel quel : $6x - 1$.

Pour isoler $x$, on effectue l’opération inverse de celle qui l’accompagne : on soustrait ce qui est ajouté, on ajoute ce qui est soustrait.

1. On soustrait $6$ des deux côtés : $x = 15 - 6 = 9$. Vérification : $9 + 6 = 15$. ✓
2. On ajoute $3$ des deux côtés : $x = 8 + 3 = 11$. Vérification : $11 - 3 = 8$. ✓
3. On soustrait $4{,}5$ des deux côtés : $x = 10 - 4{,}5 = 5{,}5$. Vérification : $5{,}5 + 4{,}5 = 10$. ✓
4. On ajoute $7$ des deux côtés : $x = -2 + 7 = 5$. Vérification : $5 - 7 = -2$. ✓

Pour isoler $x$ dans une équation de la forme $a \times x = b$, on divise les deux côtés par $a$.

1. $x = 28 \div 4 = 7$. Vérification : $4 \times 7 = 28$. ✓
2. $x = 15 \div 6 = 2{,}5$. Vérification : $6 \times 2{,}5 = 15$. ✓
3. $x = 9 \div 2 = 4{,}5$. Vérification : $2 \times 4{,}5 = 9$. ✓
4. $x = 4 \div 10 = 0{,}4$. Vérification : $10 \times 0{,}4 = 4$. ✓

1. Si le cadet a $x$ billes, l’aîné en a $12$ de plus, soit $x + 12$. Ensemble, ils ont $52$ billes : $x + (x+12) = 52$, ce qui se réduit en $2x + 12 = 52$.
2. On soustrait $12$ des deux côtés : $2x = 52 - 12 = 40$. On divise par $2$ : $x = 20$.
3. Le cadet a donc $20$ billes, et l’aîné en a $20 + 12 = 32$. On vérifie que le total correspond bien à l’énoncé : $20 + 32 = 52$. ✓

1. « $3$ cm de plus que la largeur » se traduit par une addition : la longueur est $x + 3$.
2. Le périmètre d’un rectangle vaut deux fois la somme de sa longueur et de sa largeur : $2 \times \big(x + (x+3)\big) = 38$. En réduisant l’intérieur de la parenthèse, $x + (x+3) = 2x + 3$, l’équation devient $2(2x+3) = 38$, soit, en développant, $4x + 6 = 38$.
3. On soustrait $6$ des deux côtés : $4x = 38 - 6 = 32$. On divise par $4$ : $x = 8$. La largeur est donc $8$ cm, et la longueur est $8 + 3 = 11$ cm. On vérifie avec la formule du périmètre : $2 \times (8+11) = 2 \times 19 = 38$ cm. ✓