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Calcul littéral et équations — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

Le prix à payer pour $n$ places de concert à $15$ € l'unité s'écrit $P = 15n$ . Calcule $P$ pour $n = 6$ . (1 point)
Écris une formule donnant le périmètre $P$ d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ , puis calcule $P$ pour $L=8$ cm et $\ell=5$ cm. (1 point)
L'égalité $4x - 3 = 13$ est-elle vraie pour $x=4$ ? (1 point)
Trouve un contre-exemple pour l'égalité $3x = x + 10$ . (1 point)

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On remplace $n$ par $6$ dans la formule : $P = 15 \times 6 = 90$ €. (1 point)
Le périmètre d'un rectangle est le double de la somme de la longueur et de la largeur : $P = 2(L+\ell)$ . Pour $L=8$ cm et $\ell=5$ cm : $P = 2 \times (8+5) = 2 \times 13 = 26$ cm. (1 point)
On remplace $x$ par $4$ dans le membre de gauche : $4 \times 4 - 3 = 16 - 3 = 13$ . Le membre de droite vaut $13$ . Les deux résultats coïncident : l'égalité est vraie pour $x=4$ . (1 point)
Un contre-exemple est une valeur pour laquelle l'égalité est fausse. Essayons $x = 2$ : à gauche, $3 \times 2 = 6$ ; à droite, $2 + 10 = 12$ . Comme $6 \neq 12$ , $x=2$ est bien un contre-exemple (l'égalité n'est en réalité vraie que pour $x=5$ : on peut vérifier que $3\times5=15$ et $5+10=15$ ). (1 point)

Développe $6(x+4)$ . (1 point)
Développe $5(x-7)$ . (1 point)
Développe $2(3x+1)$ . (1 point)
Factorise $9x + 15$ (indice : cherche le facteur commun à $9$ et $15$ ). (1 point)

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$6(x+4) = 6 \times x + 6 \times 4 = 6x + 24$ . (1 point)
$5(x-7) = 5 \times x - 5 \times 7 = 5x - 35$ . (1 point)
$2(3x+1) = 2 \times 3x + 2 \times 1 = 6x + 2$ . (1 point)
Le facteur commun à $9x$ et $15$ est $3$ , car $9x = 3 \times 3x$ et $15 = 3 \times 5$ : $9x + 15 = 3(3x+5)$ . (1 point)

Réduis :

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$6x + 4x = (6+4)x = 10x$ . (1 point)
On regroupe les termes en $x$ : $11x - 5x = 6x$ . Le nombre seul, $3$ , reste tel quel : $6x + 3$ . (1 point)
On regroupe les nombres seuls : $9 + 1 = 10$ . On regroupe les termes en $x$ : $2x + 3x = 5x$ . Résultat : $5x + 10$ . (1 point)
On regroupe les termes en $x$ : $12x - 7x = 5x$ . Le nombre seul, $-2$ , reste tel quel : $5x - 2$ . (1 point)

Résous, puis vérifie :

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On soustrait $9$ des deux côtés : $x = 14 - 9 = 5$ . Vérification : $5 + 9 = 14$ ✓. (1 point)
On ajoute $6$ des deux côtés : $x = 11 + 6 = 17$ . Vérification : $17 - 6 = 11$ ✓. (1 point)
On divise les deux côtés par $7$ : $x = 56 \div 7 = 8$ . Vérification : $7 \times 8 = 56$ ✓. (1 point)
On divise les deux côtés par $4$ : $x = 18 \div 4 = 4{,}5$ . Vérification : $4 \times 4{,}5 = 18$ ✓. (1 point)

Un fleuriste vend deux bouquets à un client. Le second bouquet coûte $5$ € de plus que le premier. Au total, le client paie $27$ €.

En appelant $x$ le prix du premier bouquet, écris l'équation traduisant la situation. (1 point)
Résous l'équation. (2 points)
Donne le prix de chaque bouquet. (1 point)

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Si le premier bouquet coûte $x$ euros, le second coûte $5$ € de plus, soit $x+5$ . Ensemble, ils coûtent $27$ € : $x + (x+5) = 27$ , ce qui se réduit en $2x + 5 = 27$ . (1 point)
On soustrait $5$ des deux côtés : $2x = 27 - 5 = 22$ . On divise par $2$ : $x = 11$ . (2 points)
Le premier bouquet coûte donc $11$ €, et le second $11 + 5 = 16$ €. On vérifie que le total correspond bien à l'énoncé : $11 + 16 = 27$ ✓. (1 point)