Calcul littéral et équations

Chaque section se termine par un bloc Méthode que tu peux déplier pour revoir la démarche pas à pas, et par un lien direct vers les exercices correspondants.

1. Désigner un nombre par une lettre

En mathématiques, on utilise souvent une lettre pour représenter un nombre que l’on ne connaît pas encore, ou qui peut prendre plusieurs valeurs différentes. Une expression construite avec des lettres et des nombres s’appelle une expression littérale. Elle permet d’écrire une formule, valable pour n’importe quelle valeur de la lettre.

Exemple. Le périmètre d’un carré de côté $c$ s’écrit $P = 4 \times c$, ou plus simplement $P = 4c$ (en mathématiques, on peut supprimer le signe $\times$ entre un nombre et une lettre).

Une fois la formule écrite, on peut calculer sa valeur pour un nombre précis : c’est la substitution, on remplace la lettre par sa valeur puis on effectue le calcul.

Autre exemple. Calculer $P = 4c$ pour $c = 6{,}5$ cm. On remplace : $P = 4 \times 6{,}5 = 26$ cm.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Tester si une égalité est vraie

Une égalité littérale comme $2x + 1 = 9$ peut être vraie pour certaines valeurs de $x$, et fausse pour d’autres. Tester une égalité, c’est remplacer la lettre par une valeur donnée dans les deux membres de l’égalité (à gauche et à droite du signe $=$), puis vérifier si les deux résultats coïncident.

Exemple. L’égalité $2x + 1 = 9$ est-elle vraie pour $x = 4$ ? On calcule le membre de gauche : $2 \times 4 + 1 = 9$. Le membre de droite vaut $9$. Les deux résultats sont égaux : l’égalité est vraie pour $x = 4$.

Autre exemple. La même égalité est-elle vraie pour $x = 3$ ? On calcule : $2 \times 3 + 1 = 7$, ce qui est différent de $9$. L’égalité est donc fausse pour $x = 3$ : on dit que $x = 3$ est un contre-exemple.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. La distributivité simple : développer une expression

Calculer $5 \times (3 + 2)$ peut se faire de deux façons : soit en calculant d’abord la parenthèse ($5 \times 5 = 25$), soit en distribuant la multiplication sur chaque terme ($5\times3 + 5\times2 = 15+10 = 25$). Les deux méthodes donnent le même résultat : c’est la propriété de distributivité, essentielle quand la parenthèse contient une lettre et ne peut donc pas être calculée directement.

$$k \times (a + b) = k \times a + k \times b$$

Développer, c’est transformer une écriture avec parenthèses en une somme sans parenthèses, en appliquant cette règle.

Exemple. Développer $4 \times (x + 3)$. On distribue : $4 \times (x+3) = 4 \times x + 4 \times 3 = 4x + 12$.

Autre exemple. Développer $3(2x - 5)$. On distribue en faisant attention au signe : $3 \times 2x - 3 \times 5 = 6x - 15$.

⚠️ Attention, c’est le piège le plus fréquent de ce chapitre : il faut multiplier chaque terme de la parenthèse par le nombre extérieur, jamais un seul. $4(x+3)$ n’est pas égal à $4x+3$, mais bien à $4x+12$.

Factoriser, c’est l’opération inverse de développer : transformer une somme comme $6x + 15$ en un produit, en repérant le nombre qui divise tous les termes (le facteur commun).

Exemple. Factoriser $6x + 15$. Le facteur commun à $6x$ et $15$ est $3$, car $6x = 3 \times 2x$ et $15 = 3 \times 5$ : on obtient $6x + 15 = 3 \times 2x + 3 \times 5 = 3(2x+5)$.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Réduire une expression littérale

Une expression comme $3x + 5x$ contient deux termes « en $x$ » : on peut les regrouper en un seul, exactement comme $3$ pommes $+$ $5$ pommes $=$ $8$ pommes. Réduire une expression, c’est regrouper entre eux les termes de même nature pour obtenir une écriture plus courte.

Exemple. Réduire $5x + 3 + 2x + 7$. On regroupe les termes en $x$ entre eux ($5x+2x=7x$) et les nombres seuls entre eux ($3+7=10$) : on obtient $7x + 10$.

Autre exemple. Réduire $8x - 3x + 4$. Les termes en $x$ se regroupent : $8x - 3x = 5x$. Il reste $5x + 4$.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Résoudre une équation du type x + a = b

Une équation est une égalité contenant une lettre inconnue, que l’on cherche à déterminer. Résoudre l’équation $x + a = b$, c’est trouver la valeur de $x$ qui rend l’égalité vraie. On utilise l’opération inverse de l’addition, la soustraction, en l’appliquant des deux côtés de l’égalité.

Exemple. Résoudre $x + 7 = 12$. On soustrait $7$ des deux côtés : $x = 12 - 7$, donc $x = 5$. On vérifie : $5 + 7 = 12$ ✓.

Autre exemple. Résoudre $x - 4 = 9$ (une soustraction se traite de la même façon, avec l’opération inverse : l’addition). On ajoute $4$ des deux côtés : $x = 9 + 4$, donc $x = 13$. On vérifie : $13 - 4 = 9$ ✓.

→ S’entraîner : Exercice 5

6. Résoudre une équation du type a × x = b

De la même façon, résoudre $a \times x = b$ consiste à isoler $x$ en utilisant l’opération inverse de la multiplication : la division. On divise les deux membres de l’égalité par $a$.

Exemple. Résoudre $5x = 35$. On divise les deux côtés par $5$ : $x = 35 \div 5$, donc $x = 7$. On vérifie : $5 \times 7 = 35$ ✓.

Autre exemple. Résoudre $3x = 10{,}5$. On divise les deux côtés par $3$ : $x = 10{,}5 \div 3$, donc $x = 3{,}5$. On vérifie : $3 \times 3{,}5 = 10{,}5$ ✓.

→ S’entraîner : Exercice 6

7. Résoudre un problème à l’aide d’une équation

Une équation permet de résoudre des problèmes concrets : on traduit d’abord la situation par une égalité contenant une inconnue, puis on résout cette équation avec les méthodes précédentes.

Exemple. Léa a $8$ € de plus que Sami. Ensemble, ils ont $34$ €. Combien Sami a-t-il d’argent ? On appelle $x$ la somme de Sami. Léa a alors $x+8$. Ensemble : $x + (x+8) = 34$, soit $2x + 8 = 34$. On réduit puis on résout : $2x = 26$, donc $x = 13$. Sami a $13$ €.

→ S’entraîner : Exercices 7 et 8