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5e

Angles — Exercices d'application

1. Sécante et droites coupées

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Exercice 1 — ⭐

  1. Qu’appelle-t-on la « sécante » dans une figure avec deux droites coupées par une troisième ?
  2. Combien de points d’intersection sont créés quand une sécante coupe deux droites distinctes ?
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  1. Dans une figure où deux droites sont coupées par une troisième, c’est cette troisième droite — celle qui traverse les deux autres — que l’on appelle la « sécante ».
  2. Une sécante qui coupe deux droites distinctes crée deux points d’intersection : un point où elle croise la première droite, et un autre point où elle croise la seconde.

2. Angles alternes-internes

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Exercice 2 — ⭐⭐⭐

  1. Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle alterne-interne mesure 48°48°. Que peux-tu dire de l’angle alterne-interne correspondant ?
  2. Une sécante coupe deux droites. Les angles alternes-internes mesurent 75°75° et 75°75°. Que peux-tu en conclure sur les deux droites ?
  3. Les angles alternes-internes mesurent 80°80° et 85°85°. Les droites sont-elles parallèles ?
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  1. La propriété des angles alternes-internes énonce que, lorsque deux droites sont parallèles, les angles alternes-internes formés par une sécante sont toujours égaux. Comme les droites sont ici données comme parallèles, l’angle alterne-interne correspondant mesure donc lui aussi 48°48°.
  2. On utilise ici la réciproque de cette propriété : si les angles alternes-internes formés par une sécante sont égaux, alors les deux droites coupées sont parallèles. Comme 75°=75°75° = 75°, on peut donc conclure que les deux droites sont parallèles.
  3. Non, les droites ne sont pas parallèles. Si elles l’étaient, les angles alternes-internes devraient être égaux ; or 80°≠85°80° \neq 85°, ce qui contredit cette exigence.

3. Angles correspondants

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Exercice 3 — ⭐⭐⭐

  1. Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle correspondant mesure 110°110°. Que vaut l’angle correspondant à l’autre point d’intersection ?
  2. Les angles correspondants mesurent 63°63° et 63°63°. Que peux-tu en conclure ?
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  1. Comme pour les angles alternes-internes, la propriété des angles correspondants énonce que, pour deux droites parallèles coupées par une sécante, les angles correspondants sont toujours égaux. L’angle correspondant à l’autre point d’intersection mesure donc également 110°110°.
  2. Ici, on utilise la réciproque : si deux angles correspondants formés par une sécante sont égaux, alors les deux droites coupées sont parallèles. Comme 63°=63°63° = 63°, on peut conclure que les deux droites sont parallèles.

4. Démontrer et calculer

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Exercice 4 — ⭐⭐⭐⭐ Le portique

Deux montants verticaux d’un portique sont parallèles. Une barre transversale (la sécante) les relie en formant un angle de 118°118° avec le premier montant, du côté intérieur du portique.

  1. Quel type d’angle (alterne-interne ou correspondant) permettrait de trouver directement l’angle formé avec le second montant, du côté intérieur également, mais de l’autre côté de la barre ?
  2. Quelle est la mesure de cet angle ?
  3. Si un ouvrier mesure un angle de 115°115° au lieu de 118°118° à cet endroit, que peux-tu en conclure sur les montants ?
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  1. La description correspond exactement à la définition d’un angle alterne-interne : les deux angles sont situés du côté intérieur des deux droites (entre les montants), mais de part et d’autre de la sécante (la barre transversale).
  2. Comme les deux montants sont parallèles, la propriété des angles alternes-internes garantit qu’ils sont égaux : cet angle mesure donc lui aussi 118°118°.
  3. Si l’ouvrier mesure 115°115° au lieu des 118°118° attendus, les deux angles alternes-internes ne sont plus égaux (118°≠115°118° \neq 115°). D’après la contraposée de la propriété, cela signifie que les montants ne sont en réalité plus parfaitement parallèles : il y aurait un défaut de construction à corriger.

5. Angles opposés par le sommet, et raisonnement combiné

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Exercice 5 — ⭐⭐⭐⭐ Les rails d’un chemin de fer

Deux rails parallèles (d1)(d_1) et (d2)(d_2) sont reliés par une traverse oblique (la sécante), qui les croise en deux points, l’un au-dessus de l’autre. Au premier point de contact, l’angle situé en haut à droite de la traverse mesure 100°100°.

  1. Quelle est la mesure de l’angle situé en haut à gauche de la traverse, au même point de contact ?
  2. Quelle est la mesure de l’angle opposé par le sommet à l’angle de 100°100° (celui situé en bas à gauche) ?
  3. Au second point de contact, quel angle occupe la même position (en haut à droite) que l’angle de départ ? Comment l’appelle-t-on, et quelle est sa mesure ?
  4. Un ouvrier affirme qu’au second point de contact, l’angle situé en bas à gauche mesure 97°97°. Les rails sont-ils parfaitement parallèles ? Justifie ta réponse par le calcul.
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  1. L’angle « en haut à droite » et l’angle « en haut à gauche » sont côte à côte le long du rail : ensemble, ils forment un angle plat, donc leur somme vaut 180°180°. L’angle « en haut à gauche » mesure donc 180°−100°=80°180° - 100° = 80°.
  2. L’angle opposé par le sommet à un angle est toujours égal à cet angle, quelles que soient les droites : l’angle opposé par le sommet à celui de 100°100° mesure donc lui aussi 100°100°.
  3. Au second point de contact, l’angle « en haut à droite » occupe exactement la même position relative que celui du premier point : c’est un angle correspondant. Puisque les deux rails sont parallèles, il mesure lui aussi 100°100°.
  4. Au second point de contact, l’angle « en bas à gauche » est opposé par le sommet à l’angle « en haut à droite », qui mesure 100°100° d’après la question 3 : si les rails étaient parfaitement parallèles, l’angle « en bas à gauche » devrait donc mesurer 100°100° également. Or l’ouvrier mesure 97°≠100°97° \neq 100° : les rails ne sont donc pas parfaitement parallèles, il y a un léger défaut.