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Angles

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître des angles alternes-internes formés par une sécante coupant deux droites
Reconnaître des angles correspondants formés par une sécante coupant deux droites
Reconnaître des angles opposés par le sommet
Utiliser ces angles pour démontrer que deux droites sont parallèles
Utiliser le parallélisme de deux droites pour calculer un angle

Notions cléssécante, angles alternes-internes, angles correspondantsangles opposés par le sommetdémontrer un parallélisme par les angles

1. Une droite sécante à deux autres droites

Quand une droite (la sécante) coupe deux autres droites, elle crée plusieurs angles à chaque point d’intersection. Selon leur position les uns par rapport aux autres, ces angles portent des noms précis, qui permettent de repérer si les deux droites coupées sont parallèles ou non.

Une sécante coupant deux droites d₁ et d₂ crée deux points d'intersection, et plusieurs angles autour de chacun.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Les angles alternes-internes

Deux angles sont dits alternes-internes quand ils sont situés entre les deux droites coupées (« internes »), et de part et d’autre de la sécante (« alternes »). Une propriété essentielle : si les deux droites coupées sont parallèles, alors les angles alternes-internes qu’elles forment avec la sécante sont égaux. Réciproquement, si l’on trouve deux angles alternes-internes égaux, on peut en déduire que les deux droites sont parallèles.

Les deux angles marqués sont alternes-internes : ils sont égaux si d₁ et d₂ sont parallèles.

Exemple. Deux droites parallèles sont coupées par une sécante, formant un angle alterne-interne de $63°$ d’un côté. L’angle alterne-interne correspondant, de l’autre côté de la sécante, mesure aussi $63°$ .

📋 Méthode — Utiliser les angles alternes-internes

Repère la sécante et les deux angles situés entre les droites, de part et d’autre de la sécante.
Si les droites sont données comme parallèles, ces deux angles sont automatiquement égaux.
Si tu constates que deux angles alternes-internes sont égaux, tu peux en déduire que les droites sont parallèles.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Les angles correspondants

Deux angles sont dits correspondants quand ils occupent la même position relative à chaque point d’intersection (par exemple, tous les deux « en haut à droite »). Comme pour les angles alternes-internes, si les deux droites coupées sont parallèles, les angles correspondants sont égaux — et réciproquement.

Les deux angles marqués sont correspondants : ils sont égaux si d₁ et d₂ sont parallèles.

Exemple. Une sécante coupe deux droites parallèles. L’angle correspondant mesuré en haut à gauche du premier point d’intersection vaut $115°$ : l’angle correspondant en haut à gauche du second point d’intersection vaut aussi $115°$ .

📋 Méthode — Utiliser les angles correspondants

Repère la position relative de chaque angle par rapport à son point d’intersection et à la sécante.
Si deux angles occupent exactement la même position à deux points d’intersection différents, ce sont des angles correspondants.
S’ils sont égaux, les droites sont parallèles ; si les droites sont données parallèles, les angles correspondants sont automatiquement égaux.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Démontrer un parallélisme ou calculer un angle

Ces deux propriétés permettent deux types de raisonnement, dans les deux sens : soit on connaît le parallélisme et on en déduit des angles égaux, soit on constate des angles égaux et on en déduit le parallélisme. Il faut toujours préciser, dans une démonstration, laquelle des deux propriétés (alternes-internes ou correspondants) est utilisée, et pourquoi.

Exemple. On sait que $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles, coupées par une sécante formant un angle de $72°$ à un endroit. Un angle alterne-interne à cet angle mesure alors automatiquement $72°$ , sans qu’on ait besoin de le mesurer.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Angles opposés par le sommet

Quand deux droites sécantes se coupent en un point, elles délimitent quatre angles autour de ce point. Deux de ces angles, situés de part et d’autre du point d’intersection sans avoir de côté commun, sont dits opposés par le sommet. Propriété : deux angles opposés par le sommet sont toujours égaux, quelles que soient les droites — cette propriété ne dépend d’aucun parallélisme, contrairement aux deux précédentes.

Les angles opposés par le sommet sont égaux deux à deux (ici 65° et 65° d'un côté, 115° et 115° de l'autre), même sans aucune droite parallèle.

Exemple. Deux droites sécantes se coupent en formant un angle de $65°$ . L’angle opposé par le sommet à celui-ci mesure donc lui aussi $65°$ .

Autre remarque utile : deux angles côte à côte sur une même droite (comme les angles de $65°$ et $115°$ de la figure ci-dessus) forment ensemble un angle plat : leur somme vaut donc toujours $180°$ . C’est une autre façon de retrouver un angle sans le mesurer : $180° - 65° = 115°$ .

📋 Méthode — Utiliser les angles opposés par le sommet

Repère le point d’intersection des deux droites sécantes.
Identifie les deux angles qui se font face, sans côté commun : ce sont les angles opposés par le sommet, toujours égaux.
Pour un angle voisin, situé juste à côté sur la même droite, utilise plutôt le fait que leur somme vaut $180°$ .

Exemple (combiner plusieurs propriétés). $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles, coupées par une sécante. Au premier point d’intersection, l’angle situé en haut à droite de la sécante mesure $108°$ . L’angle opposé par le sommet à celui-ci (en bas à gauche) mesure donc aussi $108°$ — et cet angle occupe la même position qu’un angle du second point d’intersection : par la propriété des angles correspondants, cet angle-là mesure donc lui aussi $108°$ , sans avoir eu besoin d’être donné directement dans l’énoncé.

→ S’entraîner : Exercice 5