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4e

Translations et parallélogrammes — Exercices d'application

1. Comprendre l’effet d’une translation

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Exercice 1 — ⭐

  1. Sur un quadrillage, place un triangle ABCABC. Construis son image par une translation de 33 carreaux vers la droite et 22 carreaux vers le haut.
  2. Une translation fait-elle tourner une figure ? Justifie.
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  1. Une translation déplace tous les points d’une figure de la même façon. On applique donc le même déplacement — 33 carreaux vers la droite et 22 carreaux vers le haut — à chacun des trois sommets AA, BB et CC du triangle, séparément. En reliant les trois nouveaux points obtenus dans le même ordre que les sommets de départ, on reconstitue le triangle image, identique au premier mais déplacé.
  2. Non. Par définition, une translation déplace une figure dans une seule direction, un seul sens et sur une seule distance, sans jamais la faire pivoter ni la déformer : l’orientation de la figure reste donc toujours la même avant et après la translation.

2. Construire l’image d’un point ou d’une figure par translation

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Exercice 2 — ⭐⭐

Dans un repère, on place les points D(1 ; 4)D(1\,;\,4), E(5 ; 4)E(5\,;\,4) et F(3 ; 1)F(3\,;\,1). On leur applique une translation de 44 carreaux vers la droite et 22 carreaux vers le bas, pour obtenir le triangle image D′E′F′D'E'F'.

  1. Donne les coordonnées de D′D', de E′E' et de F′F'.
  2. Calcule la longueur DEDE, puis la longueur D′E′D'E'. Que remarques-tu ? Cela correspond-il à une propriété connue des translations ?
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  1. Pour trouver l’image d’un point par cette translation, on ajoute 44 à son abscisse et on retranche 22 à son ordonnée. On obtient ainsi D′(1+4 ; 4−2)=D′(5 ; 2)D'(1+4\,;\,4-2) = D'(5\,;\,2), E′(5+4 ; 4−2)=E′(9 ; 2)E'(5+4\,;\,4-2) = E'(9\,;\,2) et F′(3+4 ; 1−2)=F′(7 ; −1)F'(3+4\,;\,1-2) = F'(7\,;\,-1).
  2. DD et EE ont la même ordonnée (44) : la longueur DEDE est donc la différence de leurs abscisses, DE=5−1=4DE = 5 - 1 = 4. De même, D′D' et E′E' ont la même ordonnée (22) : D′E′=9−5=4D'E' = 9 - 5 = 4. On trouve DE=D′E′=4DE = D'E' = 4 : c’est bien la propriété de conservation des longueurs par une translation.

3. Translation et parallélogramme

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Exercice 3 — ⭐⭐

Une translation envoie le point AA sur le point BB, et le point CC sur le point DD.

  1. Quel quadrilatère peut-on former à partir de ces quatre points ?
  2. Que peux-tu dire des segments [AB][AB] et [CD][CD] ?
  3. Si AC=6 cmAC = 6\,\text{cm}, quelle est la longueur de BDBD ?
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  1. D’après la propriété du cours, lorsqu’une translation envoie AA sur BB et CC sur DD, le quadrilatère obtenu en reliant ces points dans l’ordre ABDCABDC est un parallélogramme.
  2. Puisque BB est l’image de AA et DD l’image de CC par la même translation, les segments [AB][AB] et [CD][CD] ont exactement la même longueur et la même direction — ce sont précisément les deux côtés opposés du parallélogramme ABDCABDC.
  3. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont toujours de même longueur. Or [AC][AC] et [BD][BD] sont eux aussi deux côtés opposés du parallélogramme ABDCABDC : on a donc BD=AC=6 cmBD = AC = 6\,\text{cm}.

4. Propriétés de conservation des translations

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Exercice 4 — ⭐⭐⭐

Un triangle ABCABC a pour côtés AB=4 cmAB = 4\,\text{cm}, BC=6 cmBC = 6\,\text{cm}, AC=5 cmAC = 5\,\text{cm}, et une aire de 9,6 cm29{,}6\,\text{cm}^2. On applique une translation à ce triangle pour obtenir le triangle A′B′C′A'B'C'.

  1. Donne les longueurs des côtés du triangle A′B′C′A'B'C'.
  2. Donne l’aire du triangle A′B′C′A'B'C'.
  3. Le triangle A′B′C′A'B'C' a-t-il la même forme que ABCABC, ou peut-il être tourné ou déformé ?
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  1. Une translation conserve toujours les longueurs, quelle que soit la figure déplacée : chaque côté du triangle image a donc exactement la même longueur que le côté correspondant du triangle de départ. On obtient ainsi A′B′=4 cmA'B' = 4\,\text{cm}, B′C′=6 cmB'C' = 6\,\text{cm}, A′C′=5 cmA'C' = 5\,\text{cm}.
  2. Une translation conserve aussi les aires : l’aire de A′B′C′A'B'C' est donc identique à celle de ABCABC, soit 9,6 cm29{,}6\,\text{cm}^2, sans qu’il soit nécessaire de la recalculer.
  3. Le triangle A′B′C′A'B'C' a exactement la même forme et la même orientation que ABCABC. Une translation ne fait jamais tourner ni déformer une figure : elle ne fait que la « glisser » dans une direction donnée.

Exercice 5 — ⭐⭐⭐⭐

Un architecte conçoit un carrelage en répétant un même motif carré de 20 cm20\,\text{cm} de côté par une suite de translations identiques, horizontalement, pour couvrir un couloir de 3,40 m3{,}40\,\text{m} de long.

  1. Combien de carreaux entiers de 20 cm20\,\text{cm} peut-on aligner sur 3,40 m3{,}40\,\text{m} de long ?
  2. Si chaque carreau est translaté du précédent par un déplacement de 20 cm20\,\text{cm} vers la droite, quelle est la position (distance depuis le début du couloir) du bord gauche du dernier carreau entier posé ?
  3. Reste-t-il de l’espace non couvert par des carreaux entiers ? Si oui, calcule cet espace restant.
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  1. On convertit d’abord la longueur du couloir dans la même unité que les carreaux : 3,40 m=340 cm3{,}40\,\text{m} = 340\,\text{cm}. Le nombre de carreaux de 20 cm20\,\text{cm} que l’on peut aligner s’obtient par une division : 340÷20=17340 \div 20 = 17. On peut donc aligner 1717 carreaux entiers.
  2. Le premier carreau commence à 0 cm0\,\text{cm}. Chaque translation suivante déplace le carreau de 20 cm20\,\text{cm} vers la droite : pour atteindre le 17e17^{\text{e}} carreau, il a fallu 1616 translations successives depuis le premier. Le bord gauche du dernier carreau se situe donc à 16×20=320 cm16 \times 20 = 320\,\text{cm} du début du couloir.
  3. L’espace total couvert par les 1717 carreaux est 17×20=340 cm17 \times 20 = 340\,\text{cm}, ce qui correspond exactement à la longueur totale du couloir (340 cm340\,\text{cm}). Il ne reste donc aucun espace non couvert : les 1717 carreaux remplissent parfaitement le couloir.